Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
a) Espérance d’une variable aléatoire réelle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Espérance $\mathrm{E}(X)=\sum\limits_{x\in X(\Omega)}xP(X=x)$ d’une variable aléatoire $X$. | L’espérance est un indicateur de position. Formule $\mathrm{E}(X)=\sum\limits_{\omega\in\Omega}X(\omega)P(\{\omega\})$. Variable aléatoire centrée. |
Linéarité, positivité, croissance, inégalité triangulaire. | |
Espérance d’une variable constante, de Bernoulli, binomiale. | Exemple : $\mathrm{E}(\mathbb{1}_A)=P(A)$. |
Formule de transfert : $\mathrm{E}\big(f(X)\big)=\sum\limits_{x\in X(\Omega)}f(x)P(X=x)$. | On souligne que la formule de transfert s’applique en particulier aux couples et aux $n$-uplets. |
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $\mathrm{E}(XY)=\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)$. | Extension au cas de $n$ variables aléatoires indépendantes. |
Calcul par approximation
Un fournisseur d’accès internet met en place un point local d’accès qui dessert \(5\,000\) abonnés. À un instant d ...
Dé truqué
On considère un dé truqué cubique dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\) ...
Etude d'un jeu
Timothée vient d’ouvrir un salon de jeux. Pour l’instant, il n’a installé qu’une roulette et a simplifié le jeu de la manière suivante : on ne peut ...
exo7 245
Soit \(p_{n}(k)\) le nombre de permutations de \(\{1,...,n\}\) ayant ...
exo7 6005
Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affranchissements des courriers publicitaires à envoyer aux clients. P ...
exo7 6007
Un avion peut accueillir 20 personnes; des statistiques montrent que 25% clients ayant réservé ne viennent pas. Soit ...
exo7 6009
Un candidat se présente à un concours où, cette fois, les 20 questions sont données sous forme de QCM. A chaque question, sont proposées 4 réponses ...
exo7 6010
Dans une poste d’un petit village, on remarque qu’entre 10 heures et 11 heures, la probabilité pour que deux personnes entrent durant la même minut ...
exo7 6020
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exo7 6022
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exo7 6023
Aux dernières élections présidentielles en France, le candidat A a obtenu \(20\)% des voix. On prend au hasard dan ...
exo7 6025
Un échantillon de \(10\,000\) personnes sur une population étant donné, on sait que le taux moyen de personnes à s ...
exo7 6026
Un vol Marseille - Paris est assuré par un Airbus de \(150\) places ; pour ce vol des estimations ont montré que l ...
exo7 6903
Une usine fabrique des transistors. Chaque transistor a une probabilité de 3% d’être défectueux. Quelle est la loi du nombre de transistors défectu ...
exo7 6904
L’entreprise Luminex fabrique des lampes, dont 80% durent plus de 3000 heures. Des tests sont effectués sur des échantillons de taille ...
exo7 6905
Un transporteur aérien a observé que 25% en moyenne des personnes ayant réservé un siège pour un vol ne se présentent pas au départ. Il décide d’ac ...
exo7 6908
Dans une dictature militaire, le dictateur veut augmenter le nombre de naissances de garçons. Il impose la règle suivante : si une femme donne nais ...
exo7 6914
Charles ne supporte pas les chats et Sophie déteste les chiens. Charles n’élève pas plus d’un chien et Sophie pas plus d’un chat. La probabilité po ...
exo7 6916
On lance deux dés à 6 faces. Soit \(X_1\) le résultat du premier dé, \(X_2\) le r ...
exo7 6917
Une urne contient 10 boules rouges et 5 boules blanches.
exo7 6918
Pour une élection, une population de \(N\) individus a eu à choisir entre voter pour le candidat ...
exo7 6919
Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\), avec ...
exo7 6944
Soit \((X_n)_{n\geq 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre ...
exo7 6945
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\).
exo7 6952
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi exponentielle \(\mathcal{E}(\lambda)\), ...
exo7 6953
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle dans \(L^2\). Montrer que ...
Gain aléatoire sur une cible
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Gain au loto
Le loto est un jeu consistant à choisir six numéros différents compris entre 1 et 49. Au dernier tirage, il fallait jouer les numéros: ...
Identification de lois usuelles
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Indépendance de variables aléatoires
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Introduction à la loi binomiale
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Jeu de boules
On tire \(4\) boules avec remise dans une urne contenant des boules numérotées de ...
Loi binomiale et approximation normale
Une entreprise fabrique en grande série des capteurs. La probabilité qu’un capteur soit défectueux est ...
Loi conjointe
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires réelles et soient ...
Loi d'un couple
Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \prob)\) un espace probabilisé. On considère deux variables aléatoires discrètes ...
Loi d'une variable aléatoire discrète
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète telle que \(X(\Omega)=\{3,4,5,6\}\) te ...
Loi discrète, espérance, variance et probabilité conditionnelle
Une urne contient des jetons numérotés de \(1\) à \(5\). On tire un jeton au hasa ...
Loi jointe et indépendance d'un couple de variables aléatoires
Soit \((X, Y)\) un couple de variables aléatoires dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant :
...Lois usuelles
Un examen comporte un écrit et un oral.
Répartition des ressources militaires
Un bataillon militaire dispose de deux types de véhicules : des véhicules blindés (notés \(X\)) et des drones de r ...
Suite de variables aléatoires
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle de densité \(f_{\theta}\) définie par ...
Transformations et propriétés de la loi log-normale
La loi log-normale de paramètres \(\mu\in\mathbb R\) et \(\sigma>0\), notée ...
Urne et variable aléatoire
Une urne contient sept boules : une rouge, deux jaunes et quatre vertes. Un joueur tire au hasard une boule. Si elle est rouge, il gagne 10€, si el ...
Étude d'un gain
On lance un dé équilibré. On gagne 1 euro si le résultat est pair, on pert 1 euro si le résultat est impair. Ŝoit ...