Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
a) Ouverts de $\mathbb{R}^2$, fonctions continues
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Boules de $\mathbb{R}^2$ muni de la norme euclidienne canonique. Ouverts. | |
Continuité d’une fonction définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Représentation graphique d’une fonction de deux variables par une surface. La notion de continuité est introduite uniquement en vue du calcul différentiel. L’étude de la continuité d’une fonction n’est pas un objectif du programme. |
exo7 4822
Soit \(u\) une application linéaire de \(\R^n\) dans ...
exo7 4838
Soit \(\|.\|\) une norme sur \(\R^2\), ...
exo7 5771
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 5888
Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...
exo7 5901
\(E =\Rr^n\) est muni de sa structure euclidienne usuelle. Montrer que ...
exo7 6058
On considère dans \({\Rr}^2\) les 4 boules euclidiennes fermées de rayon \(1\) ce ...
exo7 6081
Soit \(f\) une application ouverte de \(X\) dans ...
exo7 6119
Montrer que le carré unité fermé et le disque fermé dans \({\Rr}^2\) sont homéomorphes.
exo7 6805
Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr^2\) définie par \(f(x,y) = (x^2-y, x^2 + y^2)\). On défini ...
Fonction de deux variables et surface représentative
A chaque fonction définie ci-dessous (1-6), associer sa surface représentative (A-F).
3
- ...
Fonction de deux variables non continue
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R^2\) par ...
Limite et continuité
Soit la fonction \(g \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Limite et continuité d'une fonction définie sur $\R^2$
Soit \(f \colon \R^2 \to \R\), ...
Limite et continuité d'une fonction définie sur $\R^2$
Étudier l’existence et le cas échéant, calculer \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\]
Optimisation d'une fonction d'efficacité sur un disque fermé
Dans une zone militaire, l’efficacité de détection d’un radar est modélisée par la fonction : ...
Ouverts et fermés dans $\R^2$
Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés dans \(\R^2\).
Problème de continuité
Soit \(f: \R^2 \to \R\) définie par : ...
Question d'optimisation
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Représentation graphique de sous-ensembles de $\mathbb{R}^2$
Représenter graphiquement les sous-ensembles suivants de \(\mathbb{R}^2\). Lesquels sont des ouverts ? Aucune just ...
Étude d'un domaine de $\R^2$
Soit \(D = \{(x,y) \in \R^2 \, , \, x > 0 \, , \, x+y \leq 0\}\) un domaine de ...
Étude d'un domaine de $\R^2$
Soit \(D = \{(x,y) \in \R^2 \, , \, y \geq 0 \, , \, x-y > 0\}\) un domaine de ...
Étude d'une fonction de deux variables
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Étude d'une fonction de deux variables
Soit la fonction \(f: \R^2 \to \R\), ...
Étude d'une fonction de deux variables
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Étude des extremums d'une fonction de deux variables
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x,y)=x^2+y\) sur l’ensemble : ...