Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 1 – Logique, ensembles et raisonnemment
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Les notions présentées ci-dessous, introduites dès la classe de Seconde, sont reprises comme outils pour l’algorithmique et les probabilités et doivent faire l’objet d’un développement très modeste sans abstraction excessive. Les exemples illustrant ces notions seront une première occasion d’introduire des situations probabilistes.
Ces notions ne pourront constituer le thème principal d’aucune question d’écrit ou d’oral.
Des bijectivités compliquées
On note \(E\) l’ensemble des suites \((u_n)\) géométriques, telles que ...
Des propriétés sur les ensembles
Soit \(E\) un ensemble, et \(A, B, D\) des parties non vides de ...
Des équivalences
Soient \(\AA\), \(\BB\) et \(\CC\) trois proposi ...
Ensemble des parties
Déterminer les éléments de \(\partie\left(\{0, 1, 2\}\right)\) et de ...
Ensembles
Soient les ensembles suivants : ...
exo7 104
Soient \(R\) et \(S\) des relations. Donner la négation de ...
exo7 1046
Soit \(A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0& 1 &1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\) et soit ...
exo7 105
Démontrer que \((1=2) \Rightarrow (2=3)\).
exo7 106
Soient les quatre assertions suivantes : ...
exo7 107
Soit \(f\) une application de \({\Rr}\) dans ...
exo7 108
Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose : \(\Leftrightarrow ,\ \Leftarrow,\ \Rightarrow.\) ...
exo7 109
Dans \(\R^2\), on définit les ensembles \(F_{1}=\{(x,y)\in\R^2,\ y\leq0\}\) et ...
exo7 110
Nier la proposition: “tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans”.
exo7 111
Écrire la négation des assertions suivantes où \(P, Q, R, S\) sont des propositions.
exo7 112
Nier les assertions suivantes :
exo7 113
Les cannibales d’une tribu se préparent à manger un missionnaire. Désirant lui prouver une dernière fois leur respect de la dignité et de la libert ...
exo7 1132
Soit \((a,b)\in\R^2\) avec \(a\neq b\). Pour ...
exo7 114
La proposition \(\big( P \wedge Q \Rightarrow (\neg P) \vee Q \big)\) est-elle vraie ?
exo7 1147
Soient \(a,b,c\) trois réels et \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille ...
exo7 1149
Soit \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille \(n\) suivant : ...
exo7 115
On suppose que la proposition \(P\) est vraie ainsi que les propositions suivantes :
exo7 116
Ecrire la négation des phrases suivantes :
exo7 117
Comparer les différentes phrases (sont-elles équivalentes, contraires, quelles sont celles qui impliquent les autres...)
exo7 118
Si \(P (x)\) est une proposition dépendant de \(x \in X\), on note ...
exo7 120
Soient \(f,g\) deux fonctions de \(\Rr\) dans ...
exo7 121
Montrer que \(\emptyset \subset X\), pour tout ensemble \(X\).
exo7 122
Montrer par contraposition les assertions suivantes, \(E\) étant un ensemble :
exo7 123
Soit \(A,B\) deux ensembles, montrer ...
exo7 125
\(A\) et \(B\) étant des parties d’un ensemble ...
exo7 126
Démontrer les relations suivantes : ...
exo7 127
Montrer que si \(F\) et \(G\) sont des sous-ensembles de ...
exo7 128
Soit \(E\) et \(F\) des ensembles. Si ...
exo7 129
Soit \(A= \{a_1, a_2, a_3, a_4\}\) et \(B= \{b_1, b_2, b_3, b_4 ,b_5\}\). Écrire ...
exo7 1318
Soient \((G, \star)\) et \((H, \triangle)\) deux groupes. On définit sur ...
exo7 132
Soit \(A\) une partie de \(E\), on appelle fonction caractéristique de ...
exo7 1329
Soit \(E\) un ensemble muni d’une loi interne \(\star\). On appelle translation à ...
exo7 133
Soit un ensemble \(E\) et deux parties \(A\) et ...
exo7 134
Écrire l’ensemble de définition de chacune des fonctions numériques suivantes : \(x\mapsto\sqrt x\), ...
exo7 1342
Le groupe \((\Q ,+)\) est-il monogène ?
exo7 137
Montrez que chacun des ensembles suivants est un intervalle que vous calculerez. ...
exo7 138
Soient \(E\) un ensemble et \(A, B, C\) trois parties de ...
exo7 139
Soient \(E\) un ensemble et \(A, B, C\) trois parties de ...
exo7 140
Donner les positions relatives de \(A, B, C \subset E\) si ...
exo7 142
Montrer que \(A \cap B = A \cap C \Leftrightarrow A \cap \complement B = A \cap \complement C\).
exo7 143
Donner la liste des éléments de \(\mathcal{P} (\mathcal{P} (\left\{ 1, 2\right\}))\).
exo7 144
Soient \(A, B \subset E\). Résoudre les équations à l’inconnue \(X \subset E\) ...
exo7 145
Soient \(E, F, G\) trois ensembles. Montrer que ...
exo7 146
Soient \(E, F, G, H\) quatre ensembles. Comparer les ensembles ...
exo7 147
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions de \(\Nn\) dans ...
exo7 148
Montrer que \(\sqrt{2} \notin \Qq\).