Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 5 – Méthodes de calcul
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L’objectif de ce chapitre est de mettre en place quelques principes et exemples de maniement des symboles $\Sigma$ et $\Pi$, dont les usages sont constants. La présentation des coefficients binomiaux peut être faite dans ce contexte ou bien en lien avec le dénombrement.
On travaille dans $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
⇌ La plupart des formules présentées ici peuvent donner lieu à des algorithmes de calcul.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Notation $\sum$. | On précise qu’une somme ayant un ensemble d’indices vide est nulle. |
Règles de calcul sur le symbole $\sum$ : Linéarité, changements d’indices (translations et symétries), télescopages. | |
Sommes doubles : $\displaystyle\sum_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq m}} a_{i,j}$ et $\displaystyle\sum_{1 \leq i \leq j \leq n} a_{i,j}$. | Les attendus du programme se limitent au maniement de ces symboles conduisant à les mettre sous la forme de deux sommes simples successives. |
Notation $\prod$. | On précise qu’un produit ayant un ensemble d’indices vide vaut 1. |
Règles de calcul sur le symbole $\prod$. | On se contente de mettre en valeur la multiplicativité du symbole $\prod$. |
Factorielle, notation $n!$. | |
Somme de termes consécutifs d’une progression géométrique : $\displaystyle\sum_{0 \leq k \leq n} q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$. Sommes des $n$ premiers entiers et des $n$ premiers carrés. | La raison $q$ est dans $\mathbb{C} \setminus \{1\}$. |
Coefficients binomiaux. | On adopte la définition suivante : $\displaystyle\binom{n}{k} = \begin{cases} 0 & \text{si } k < 0 \text{ ou } k > n \\ \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} & \text{sinon.} \end{cases}$ |
Triangle de Pascal. Formule du binôme. | On met en valeur les formules : $\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \qquad \binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}$ $\displaystyle\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}$ |
exo7 5158
Soit \(n\in\Nn^*\).
exo7 5161
Montrer que \(\forall n\in\Nn,\;(n\geq3\Rightarrow\sqrt{n}<\sqrt[n]{n!})\).
(commencer par vérifier que ...
exo7 5215
Montrer que pour tout entier naturel non nul \(n\), ...
exo7 5223
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite arithmétique ne s’annulant pas. Montrer que pour tout entier naturel ...
exo7 5224
Calculer \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1^2+2^2+...+k^2}\).
exo7 5280
Combinaisons avec répétitions. Montrer que le nombre de solutions en nombres entiers \(x_i\geq0\) de l’équation ...
exo7 5285
De combien de façons peut-on payer \(100\) euros avec des pièces de \(10\), ...
exo7 5289
On donne \(n\) droites du plan. On suppose qu’il n’en existe pas deux qui soient parallèles, ni trois qui soient c ...
exo7 5305
Résoudre dans \((\Nn^*)^2\) l’équation d’inconnue \((x,y)\) : ...
exo7 5306
Montrer que \(n=4...48...89\) (\(p\) chiffres ...
exo7 5308
Soit \(u_n=10...01_2\).(\(n\) chiffres égaux à ...
exo7 563
Posons \(u_2=1-\frac{1}{2^2}\) et pour tout entier \(n\geq 3\), ...
exo7 5691
Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.
exo7 5698
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite de réels positifs. Trouver la nature de la série de terme général ...
exo7 5703
Convergence et somme éventuelle de la série de terme général
1) (**) ...
exo7 5707
Développement limité à l’ordre \(4\) de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\) q ...
exo7 5709
Soit \(p\in\Nn^*\), calculer ...
exo7 5728
Soit \(f\) une application continue sur \([0,1]\) à valeurs dans ...
exo7 5866
Soit \(A=\left( \begin{array}{cc} 4/3&-5/6\\ 5/3&-7/6 \end{array} \right)\). Convergence et somme de la sé ...
exo7 619
Pour tout \(n\) entier naturel et tout couple de réels \((x,y)\), établir la form ...
exo7 6973
Montrer que pour tout \(x>0\), on a ...
exo7 6976
Soit \(x\) un réel fixé. Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 719
Étant donné \(y\) un réel positif et \(n\) un entier naturel pair, montrer que ...
exo7 725
Par application du théorème des accroissements finis à \(f(x) = \ln x\) sur ...
exo7 7441
Soit \(x_i\) \(n\) nombres réels. Montrer que ...
exo7 754
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 841
Calculer : ...
Factorielles
Les questions suivantes sont indépendantes :
Formule de Koenig-Huygens
Soient \(x_1, \ldots, x_n\) des réels. On note ...
Formule du binôme
Calculer ...
Interprétation de filtres classiques
On donne les quatre noyaux suivants : ...
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Soient ...
Premiers calculs
Soient \(x\) un réel, et \(0\leq p\leq n\) des entiers. Déterminer ...
Produits et factorielles
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Exprimer les produits suivants à l’aide de factorielles : ...
Produits et factorielles
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Exprimer les produits suivants à l’aide de factorielles : ...
Retour de l'inégalité de Bernoulli
Montrer, sans récurrence, l’inégalité de Bernoulli dans le cas où \(q\ge 0\) : ...
Récurrences
Démontrer par récurrence les résultats suivants :
Rétropropagation et problème du neurone mort
On étudie, sur un exemple simple, le calcul de la propagation avant et de la rétropropagation du gradient dans un réseau de neurones de régression. ...
Réécriture
Réécrire les sommes suivantes à l’aide du symbole \(\sum\) :
Série télescopique
Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n\geq 2\).
Série télescopique et décomposition en éléments simples
On considère la série \[\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.\]
Un autre produit
Exprimer le produit suivant à l’aide de factorielles : \[\prod_{k=1}^n \left(\frac12 -k\right)\]
Un autre produit
Exprimer le produit suivant à l’aide de factorielles : \[\prod_{k=1}^n \left(\frac12 -k\right)\]
Une mesure aberrante et le choix de la perte
On relève les cinq couples \[(x_i,y_i)=(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,12).\] On hésite entre les deux modèles ...
Une somme combinatoire
Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels tels que ...
Une somme combinatoire
Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels tels que ...