Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
b) Formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Notation $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$. Propriétés $\lvert \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \rvert = 1$, $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha + \beta)} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha} \times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta}$, $\overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$, $(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta})^n = \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}$, formules d’Euler. | |
Arguments d’un nombre complexe non nul. Écriture exponentielle d’un nombre complexe non nul. Linéarisation de $\cos^p(x)\sin^q(x)$. | On met en évidence quelques choix usuels d’intervalles permettant de définir l’argument. À chaque fois que le recours à la formule d’Euler sera nécessaire pour linéariser ou développer des formules, l’énoncé devra l’indiquer. |
exo7 10
Établir les égalités suivantes :
exo7 100
Étudier la suite \((z_{n})_{n\in \Nn}\) définie par: \(z_{0}=4,\) ...
exo7 11
Calculer le module et l’argument de \(u = \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\) et ...
exo7 12
Écrire sous la forme partie réelle-partie imaginaire, puis sous la forme module-argument le nombre complexe : ...
exo7 13
Déterminer le module et l’argument des nombres complexes : ...
exo7 1334
Soit \(\lambda\in\Cc\) fixé. Montrer que ...
exo7 14
Déterminer le module et l’argument de \(\frac{1+i}{1-i}\). Calculer ...
exo7 15
Calculer \(Z=(1+i\sqrt 3)^{2000}\).
exo7 16
Calculer \((1+i\sqrt{3})^5 + (1-i\sqrt{3})^5\) et ...
exo7 17
Calculer le module et l’argument de \(z = \frac{1}{1+i\tan \alpha}\).
exo7 18
Calculer les puissances \(n\)-ièmes des nombres complexes : ...
exo7 1835
Déterminer \(\max\limits_{\left| z\right| \leq 1}\left| \sin z\right| .\) On rappelle que : ...
exo7 19
Comment choisir l’entier naturel \(n\) pour que \((\sqrt{3}+i)^n\) soit un réel ? ...
exo7 192
L’application \(f : \Cc\setminus{\{0\}} \rightarrow \Cc, \ z\mapsto z+1/z\) est-elle injective ? surjective ? bije ...
exo7 197
Si \(z=x+iy\), \((x,y)\in \Rr^2\), on pose ...
exo7 2
Écrire les nombres complexes suivants sous la forme \(a+ib\) (\(a,b \in \Rr\)) : ...
exo7 20
Soit \(z\) un nombre complexe de module \(\rho\), d’argument ...
exo7 200
Soit \(f:\Rr \rightarrow \Cc, \ t\mapsto e^{it}\). Changer les ensembles de départ et d’arrivée afin que (la restr ...
exo7 21
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels. Mettre le nombre complexe ...
exo7 22
Écrire l’expression \((1+\cos \phi+i\sin \phi)\) sous forme trigonométrique. En déduire l’expression de ...
exo7 229
Calculer le module et l’argument de \((1+i)^n\). En déduire les valeurs de ...
exo7 23
Mettre sous forme trigonométrique \(1 + e^{i\theta}\) où ...
exo7 2327
Calculer les intégrales ...
exo7 25
Montrer algébriquement et géométriquement que si \(\left|z\right| = 1\) alors ...
exo7 26
Résoudre l’équation \(\exp (z) = \sqrt{3} + 3i\).
exo7 29
Calculer les racines carrées de \(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\). En déduire les valeurs de ...
exo7 2928
Soient \(a,b,c \in \C\) distincts. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
exo7 2930
Déterminer les nombres \(z \in \C\) tels que \(\dots\)
exo7 2931
Trouver \(a,b,c \in \mathbb{U}\) tels que ...
exo7 2932
Soient \(u,v,w\) trois complexes unitaires tels que \(u+v+w = 0\). Montrer que ...
exo7 2940
Soit \(\omega = \exp\frac {2i\pi}n\). Calculer :
exo7 2942
Soient \(n \in \N^*\), \(\omega = e^{2i\pi/n}\) et ...
exo7 2943
Soit \(z = \exp\frac {2i\pi}7\) et \(u = z + z^2 + z^4\), ...
exo7 2951
A l’aide de formules du binôme, simplifier :
exo7 2952
Simplifier :
exo7 2953
Soit \(a \in \R\). Résoudre : ...
exo7 2954
Soit \(\theta \in \R\).
exo7 2956
Résoudre en \(x\) : ...
exo7 2958
Soit \(n \in \N\), et \(x \in \R\). Exprimer ...
exo7 2959
Soit \(z \in \mathbb{U}\). Peut-on trouver \(a \in \R\) tel que ...
exo7 3
Écrire sous la forme \(a+ib\) les nombres complexes suivants :
exo7 3186
Montrer que pour tout entier \(n \in \N\) il existe un unique polynôme ...
exo7 34
On note \(j = e^{2 \pi \over 3}.\)
exo7 38
Pour \(\alpha\in\Rr\), résoudre dans \(\Cc\) l’équation ...
exo7 4
Placer dans le plan cartésien, les points d’affixes suivantes : ...
exo7 43
Trouver les racines cubiques de \(2-2i\) et de \(11+2i\).
exo7 44
Calculer \(\frac{\frac{1+i\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2(1+i)}{2}}\) algébriquement, puis trigonométriquement. En déduir ...
exo7 4404
Soit \(z\in\C\). Montrer que \(\left(1+\frac zn\right)^n \to e^z\) lorsque ...
exo7 4405
Soit \(z \in \C\). Montrer que \(|e^z-1| \le e^{|z|}-1 \le |z|e^{|z|}\).
exo7 4406
Soit \(z=x+iy\in\C\) avec \(x,y\in\R\) et ...