Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
c) Racines multiples
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Ordre de multiplicité d’une racine. | On met en évidence, à partir d’exemples, les notions de racines simples, racines multiples. |
Une racine $\alpha$ d’un polynôme $P$ est une racine multiple si et seulement si $P'(\alpha) = 0$. |
exo7 1236
Soit \(P(X)\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(3\) ayant trois rac ...
exo7 3222
Factoriser \(P = X^5 - 13X^4 + 67X^3 - 171X^2 + 216X - 108\) sachant qu’il admet une racine triple.
exo7 3224
Donner une condition sur \(\lambda\) pour que l’équation : ...
exo7 3229
Démontrer que \(1 + X + X^n\) n’a que des racines simples.
exo7 3232
Soit \(P \in {\R[X]}\) dont toutes les racines sont réelles.
exo7 3237
Soit \(P \in {\Q[X]}\) tel que \(P\bigl(\sqrt2\bigr) = 0\). Démontre ...
exo7 3240
Soit \(P = X^4 - 6X^3 +7X^2 -18X - 8\).
Trouver \(Q \in {\R[X]}\) tel que ...
exo7 3243
Soit \(P \in \R_n[X]\setminus\{0\}\).
Pour \(x\in\R\) on note ...
exo7 361
Déterminer \(a,b \in \Zz\) de façon à ce que le polynôme \(aX^{n+1}-bX^n+1\) soi ...
exo7 399
Montrer que le polynôme \(nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}+(n+2)X-n\) admet une racine multiple. Application : déterminer les ...
exo7 400
Soit \(P=(X^2-X+1)^2+1\).
exo7 4017
Soient \(P,Q\) deux polynômes à coefficients réels, non constants, de coefficients dominants positifs.
On n ...
exo7 404
Prouver que \(B\) divise \(A\), où :
...
exo7 409
Pour \(n\in \mathbb{N}^{\ast}\), quel est l’ordre de multiplicité de 2 comme racine du polynôme ...
exo7 410
Pour quelles valeurs de \(a\) le polynôme \((X+1)^7-X^7-a\) admet-il une racine m ...
exo7 419
Soit \(n \geq 2\) et \(P_n (X) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac 1{k ! }X^k\). ...
exo7 421
Soit \(P \in \Rr[X]\) scindé sur \(\Rr\) à racines simples.
exo7 439
Soit \(K\subseteq\Cc\) un corps pour les lois usuelles sur \(\Cc\) et ...
exo7 5326
Trouver un polynôme de degré \(5\) tel que \(P(X)+10\) soit divisible par ...
exo7 5420
Soit \(P\) un polynôme réel de degré supèrieur ou égal à \(2\).
exo7 715
Montrer que le polynôme \(P_n\) défini par ...
Factorisation d'un polynôme
Soient les polynômes \(P,Q \in \R[X]\) définis par ...
Factorisation de polynôme et décomposition en éléments simples
On pose le polynôme \[Q(X)=X^3-(\sqrt{2}+5)X^2+(1+5\sqrt{2})X-5.\]
Multiplicité d'une racine
Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine 1 du polynôme \[P(X)=X^5-5 X^4+14 X^3-22 X^2+17 X-5\]
En d ...
Multiplicité d'une racine et factorisation d'un polynôme
Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine \(x_0\) du polynôme \(P\), et en ...
Multiplicité et factorisation
Soient \(a\) et \(b\) des nombres réels. Déterminer tous les polynômes de ...
Polynômes et division euclidienne
Déterminer les racines complexes de \(P(X)=X^4-4X^3+5X^2-2X\) ainsi que leur ordre de multiplicité.
Racine multiple
Montrer que le polynôme \(P(X)=1+X+\frac{X^2}{2 !}+\frac{X^3}{3 !}+\ldots+\frac{X^n}{n !}\) n’a pas de racine mult ...