Programme de mathématiques BCPST, seconde année
d) Lois usuelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Loi uniforme : densité, fonction de répartition, espérance, variance. | |
Loi exponentielle : densité, fonction de répartition, espérance, variance. Propriété d’invariance temporelle ou d’absence de mémoire : $P(X\geq s+t\mid X\geq s)=P(X\geq t)$ et on donne quelques exemples d’expériences donnant du sens à cette propriété. | ⇌ Une variable aléatoire de loi exponentielle peut être simulée à partir d’une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $]0,1[$. |
Loi normale (ou gaussienne) centrée et réduite : densité, espérance et variance. | ⇌ On obtient les valeurs de la fonction de répartition (notée souvent $\Phi$) et de sa réciproque au moyen de la calculatrice ou d’une bibliothèque associée à un langage de programmation. Un échantillon de valeurs utiles devra être rappelé. ⇌ Une variable aléatoire de loi normale peut être simulée à partir d’une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $]0,1[$. |
Loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma^2$ : densité, espérance et variance. | |
Si $X$ suit une loi normale, alors $aX+b$ aussi si $a\neq 0$. | Pour une variable de loi $\mathscr{N}(\mu,\sigma^2)$, on se ramènera le plus souvent à la variable centrée réduite associée. |
Analyse de covariance et moments d'une loi normale
On considère deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(U\) indépendantes, ...
Application du théorème central limite
Soit \(X_1, X_2, \ldots, X_{100}\) une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées su ...
Approximation d'une loi binomiale par une loi normale
\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-t ...
Approximation par une loi normale
On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0.05\) est fausse et sur des pièces de d ...
Autour d'une loi exponentielle
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une ...
Calcul approché de probabilité et loi normale
Une machine fabrique des lames de carton empilées par paquets de 36. On suppose que chaque lame a une épaisseur ...
Calcul approché de probabilités
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle telle que \(\E(X) = 30\) et ...
Calcul d'erreur
On suppose qu’un ordinateur effectue \(10^6\) opérations élémentaires pour un calcul donné. On suppose également q ...
Calcul de probabilités
Une machine est conçue pour fabriquer des pièces pesant chacune \(0{,}5\) g. Dans les faits, le résultat n’est pas ...
Calcul de risques
On suppose que le poids d’un adulte peut être modélisé par une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi normale d ...
Calcul par approximation
Un fournisseur d’accès internet met en place un point local d’accès qui dessert \(5\,000\) abonnés. À un instant d ...
Calcul par approximation
L’observation a permis d’affirmer que le nombre d’étudiants qui entrent à la bibliothèque entre 9h00 et 10h30 suit une loi de Poisson de paramètre ...
Calculs avec une loi normale
La demande d’un produit au cours d’une saison suit sensiblement la loi normale de moyenne \(5\,000\) et d’écart-ty ...
Calculs avec une loi normale
\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-t ...
Calculs avec une loi normale
On suppose que la température (en degré Celsius) dans la ville de Rennes au mois de janvier est une variable aléatoire ...
Calculs de lois
Soient \(\left(X_i\right)_{1 \leq i \leq 9}\) des variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, s ...
Changement de variable
Soit \(X\) une variable aléatoire absolument continue dont la densité est donnée par ...
Changement de variable aléatoire
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant une loi uniforme sur \([0;1]\). ...
Charges doctrinales et distribution des masses
Données :
D’après une étude de 2012 menée sur les soldats américains hommes (ANSUR II 2012), leur masse ...
Comparaison de lois normales
Deux joueurs \(A\) et \(B\) sont en concurrence au lancer de poids. Un observateu ...
Comparaison de lois normales
La note obtenue par des étudiants à un examen suit une variable aléatoire \(X\) de loi normale de moyenne ...
Comparaison de probabilités
Si l’on tire un réel au hasard dans \([0,1]\), est-il plus probable d’avoir sa racine carrée inférieure à ...
Contrôle qualité et loi normale
Une pièce usinée est dite conforme lorsque sa cote \(x\), exprimée en millimètres, appartient à l’intervalle ...
Convergence d'une suite de variables aléatoires
Soit \((X_n)\) une suite de variables aléatoires i.i.d. selon une loi normale ...
Densité d'une somme
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une ...
Densité de probabilité
Soit la fonction \(f=\frac{1}{3}\textbf{1}_{[-1;2]}\).
Deux approximations
Une machine produit des rondelles métalliques en grande série. Une rondelle est acceptée si son diamètre extérieur est compris entre ...
Dimensionnement des chargements militaires : estimation et quantile
Dans l’ATP 3-21.18 (Foot Marches), la Unit Basic Load (UBL) correspond à la quantité standard de munitions qu’un fantassin doit porter avant réappr ...
Distribution de Gumbel et les fonctions de répartition
Soient \(g\) et \(G\) deux fonctions définies pour tout ...
Distribution normale
Le nombre de déjeuners servis chaque jour ouvrable par un restaurant d’entreprise est une variable aléatoire \(X\) ...
Distribution normale
Une unité militaire prévoit le rassemblement de 1 400 soldats pour une cérémonie officielle. Les portes de l’enceinte ouvrent une demi-heure avant ...
Distribution normale
Une base militaire doit planifier la distribution de rations alimentaires pour ses soldats. Le nombre de rations nécessaires chaque jour est une va ...
Durée de vie
Une machine est composée de trois alternateurs indépendants. La durée de vie de \(T\) de chaque alternateur suit u ...
Durée de vie d'un émetteur récepteur
Une unité de communication militaire est composée de trois émetteurs-récepteurs indépendants. La durée de vie ...
Durée de vie de capteurs
Une usine fabrique des capteurs de température et d’humidité destinés à des stations météorologiques. Chaque capteur est composé de deux modules in ...
Durée de vie et temps d'attente
On considère \(n\) lampes, \(n \in \mathbb{N}^*\). La durée de vie (en années) d’ ...
Démonstrations de cours pour la loi normale
Soit \(X\) une variable aléatoire dont la loi est déterminée par la fonction densité définie pour tout ...
Etude d'un jeu
Timothée vient d’ouvrir un salon de jeux. Pour l’instant, il n’a installé qu’une roulette et a simplifié le jeu de la manière suivante : on ne peut ...
Etude d'une loi de probabilité
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant une loi uniforme sur \([0;1]\). ...
exo7 6014
Une usine fabrique des billes de diamètre 8mm. Les erreurs d’usinage provoquent des variations de diamètre. On estime, sur les données antérieures, ...
exo7 6018
Sur un grand nombre de personnes on a constaté que la répartition du taux de cholestérol suit une loi normale avec les résultats suivants:
- ...
exo7 6921
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi normale \(N(m,\sigma^2)\). Quel ...
exo7 6923
Une machine est conçue pour confectionner des paquets d’un poids de 500g, mais ils n’ont pas exactement tous le même poids. On a constaté que la di ...
exo7 6924
Madame Michel et Monsieur Lustucru vont chaque semaine au marché hebdomadaire de Kerplou. Madame Michel arrive à une heure aléatoire entre 8h et 12 ...
exo7 6925
Soit \(X\) et \(Y\) des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme de den ...
exo7 6926
Soit \(X_1,\ldots, X_n\) des variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle ...
exo7 6931
La firme Comtec vient de développer un nouveau dispositif électronique. Avant de le mettre en production, on veut en estimer la fiabilité en termes ...
exo7 6939
Soient \(X\), \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes de même loi exponenti ...
exo7 6940
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\) et ...
exo7 6943
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi \(\mathcal{E}(\lambda)\). Montrer que ...