Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Dénombrement
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Cette section est introduite essentiellement en vue de son utilisation en probabilités ; rattaché aux mathématiques discrètes, le dénombrement interagit également avec l’algèbre et l’informatique.
Toute formalisation excessive est exclue. En particulier :
- parmi les propriétés du paragraphe a), les plus intuitives sont admises sans démonstration ;
- l’utilisation de bijections dans les problèmes de dénombrement n’est pas un attendu du programme.
exo7 3003
Soit \(G\) un groupe fini de cardinal \(n\). Montrer qu’il existe une partie g ...
exo7 3027
Soit \(K\) un corps fini. Pour \(x\in K^*\) on note ...
exo7 3054
Soit \(b \in \N\setminus \{0,1\}\) et \(p \in \N\). Montrer que pour tout entier ...
exo7 3079
Soit \(\sigma \in S_n\). On appelle orbite de \(\sigma\) to ...
exo7 3089
Combien y a-t-il de permutations de \({\cal S}_{26}\) comportant trois points fixes, deux 3-cycles, un 5-cycle, et ...
exo7 3192
Soit \(P\in\R[X]\). Montrer :
(\(\forall\ x\ge 0,\ P(x) > 0\)) ...
exo7 355
Un groupe de \(N\geq 2\) personnes se réunit. Montrer qu’au moins deux personnes ont serré le meme nombre de mains ...
exo7 3878
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) monotone. Pour \(x \in {]a,b[}\), on pose ...
exo7 4401
Pour \(n \in \N\) on pose ...
exo7 4487
\(A\) étant un ensemble infini dénombrable, les ensembles suivants sont-ils dénombrables :
exo7 5155
Soient \(n\) un entier naturel et \(x\) un réel positif.
exo7 5245
Soit \(f\) une application injective de \(\Nn\) dans ...
exo7 5278
(***) Trouver une démonstration combinatoire de l’identité \(\sum_{}^{}C_n^{2k}=\sum_{}^{}C_n^{2k+1}\) ou encore d ...
exo7 5279
Combien y a-t-il de partitions d’un ensemble à \(pq\) éléments en \(p\) classes a ...
exo7 5280
Combinaisons avec répétitions. Montrer que le nombre de solutions en nombres entiers \(x_i\geq0\) de l’équation ...
exo7 5281
Combien y a-t-il de nombres de \(5\) chiffres où \(0\) figure une fois et une seu ...
exo7 5282
Quelle est la probabilité \(p_n\) pour que dans un groupe de \(n\) personnes choi ...
exo7 5284
On part du point de coordonnées \((0,0)\) pour rejoindre le point de coordonnées ...
exo7 5285
De combien de façons peut-on payer \(100\) euros avec des pièces de \(10\), ...
exo7 5287
Combien y a-t-il de surjections de \(\{1,...,n+1\}\) sur \(\{1,...,n\}\) ?
exo7 5288
Soit \((P)\) un polygone convexe à \(n\) sommets. Combien ce polygone a-t-il de d ...
exo7 5290
Soit \(P_n^k\) le nombre de partitions d’un ensemble à \(n\) éléments en ...
exo7 7186
Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal O\) une partie de ...
exo7 7187
Dans l’ensemble \(\R\), il existe une notion de partie bornée : c’est une partie qui est incluse dans un ...
exo7 7188
Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal A\) une partie de ...
exo7 7190
Soit \(E\) un ensemble fini, de cardinal \(n\). Combien de relations binaires y a ...
exo7 7192
Soit \(E\) un ensemble fini et \(f : E\to E\) une involution, c’est-à-dire une ap ...
exo7 7358
Montrer que le groupe \(GL_2(\mathbb{F}_2)\) des matrices inversibles de taille ...
exo7 766
Exprimer \(\ch^n x\) et \(\sh^n x\) au moyen de ...
Factorielles
Les questions suivantes sont indépendantes :
Gain au loto
Le loto est un jeu consistant à choisir six numéros différents compris entre 1 et 49. Au dernier tirage, il fallait jouer les numéros: ...