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Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9.

Montrer que : \(\forall\ n \in \Z\), \(n^2 + 3n + 5\) n’est pas divisible par 121 ...

Montrer que pour tout entier \(n\in\Z\), \(n(2n+1)(7n+1)\) est divisible par 6. ...

Infirmer ou justifier le critère de divisibilité par \(7\) suivant retrouvé ...

Soient \(a,b\) entiers, \(d = a \wedge b\), ...

Soit \(n \in \N\). Chercher \((15n^2+8n+6) \wedge (30n^2+21n+13)\).

Résoudre : \(\begin{cases} x \vee y = 210(x \wedge y)\cr y-x = x \wedge y.\end{cases}\)

Résoudre dans \(\Z\) : \(x \wedge y = x + y - 1\).

Résoudre dans \(\Z^*\) : \(x \vee y = x + y - 1\).

Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) les équations : ...

Soient \(a,b \in \N^*\) premiers entre eux tels que \(ab\) est un carré ...

Montrer que la plus grande puissance de \(2\) divisant \(5^{(2^n)} - 1\) est ...

On suppose que \(a^r-1\) est un nombre premier. Montrez que \(r\) est premier, pu ...

On note \(M_n = 2^n - 1\) (\(n\)-ième nombre de Mersenne).

Soient \(a,n \in \N\) tels que \(a \ge 2\), ...

Pour \(n \in \N^*\), on note \(d_n\) le nombre de diviseurs positifs de ...

Trouver 1000 entiers consécutifs non premiers.

Quelle est la plus grande puissance de 6 divisant \(1000\,!\) ?

Soit \(n \in \N\), \(n \ge 2\). Montrer que ...

Soit \(x=\frac pq \in \Q^*\) avec \(p,q\) entiers, ...

Soit \(x\in\Q\), \(0<x<1\). On définit une suite ...

Soient \(\frac ab < \frac cd\) deux rationnels avec \(a,c \in \Z\), et ...

On cherche les couples \((x,y) \in \bigl(\Q^{+*}\bigr)^2\) tels que \(x < y\) ...

Trouver deux nombres sachant que leur somme est \(581\) et que le quotient de leur PPCM par leur pgcd est ...

Le pgcd de deux nombres est \(12\) ; les quotients successifs obtenus dans le calcul de ce pgcd par l’algorithme d ...

Trouver les couples de nombres \(a\) et \(b\), divisibles par  ...

Un terrain rectangulaire dont les dimensions en mètres \(a\) et \(b\) sont des no ...

Résoudre dans \(\mathbb{N}\) et dans \(\mathbb{Z}\) l’équation ...

Démontrer que, si \(a\) et \(b\) sont des entiers premiers entre eux, il en est d ...

Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\). Exprimer en fonction de \(k\) le terme génér ...

Soit \((x,y,z)\in \Nn^3\) . Montrer que : ...

Montrer par récurrence que \(\forall n\in \Nn ,\forall k\geqslant 1\) on a : ...

Montrer que deux entiers non nuls consécutifs sont toujours premiers entre eux.

Prouver que pour vérifier qu’un entier \(p\) est premier, il suffit de vérifier qu’il n’a pas de diviseurs inférie ...

Montrer que les nombres suivants ne sont pas premiers :

Soit \(X\) l’ensemble des nombres premiers de la forme \(4k + 3\) avec ...

Soit \(a\in \Nn\) tel que \(a^{n}+1\) soit premier, montrer que ...

Soit \(n\) un nombre premier et \(p\in \{1,...,n-1\},\) montrer que ...

Résoudre en nombres entiers naturels l’équation : \[(x+1)(y+2)=2xy.\]

Montrer que \((0,0,0)\) est le seul triplet \((x,y,z)\) d’entiers naturels tels q ...

Soit \((M_n)\) une suite de points dans le plan, de coordonnées \((x_n,y_n)\) déf ...

Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) à termes réels telles que pour tout ...

Soit \(f : \R \to \R\) continue telle que ...

Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue. Montrer que ...

Montrer que : \(\forall\ x > 0,\ x - \frac {x^2}2 < \ln(1+x) < x\).

En déduire ...

Montrer qu’il existe \(\theta \in {]0, \frac \pi2 [}\) tel que pour tout ...

Calculer \(\tan p - \tan q\). En déduire la valeur de ...

Simplifier \(\sum_{k=0}^{n-1} 3^k\sin^3\left(\frac\alpha{3^{k+1}}\right)\).

Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f(0) = 0\). Chercher ...

Montrer que : \(\forall\ x \ge -1,\ \ln(1+x) \le x\).