Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
c) Fonctions polynomiales et racines
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Fonction polynomiale associée à un polynôme. Racine (ou zéro) d’un polynôme, caractérisation en termes de divisibilité. | Lien avec l’introduction aux équations algébriques de la section « Nombres complexes ». Méthode de Horner pour l’évaluation polynomiale. |
Le nombre de racines d’un polynôme non nul est majoré par son degré. Multiplicité d’une racine. Polynôme scindé. | Détermination d’un polynôme par la fonction polynomiale associée. |
Expressions de la somme et du produit des racines d’un polynôme scindé en fonction de ses coefficients. | Les fonctions symétriques élémentaires sont hors programme. |
exo7 3219
Donner une CNS sur \(p,q \in \C\) pour que \(X^8 + X^4 + 1\) divise ...
exo7 3220
Factoriser \(P(X) = 3X^4 + 11X^3 + 20X^2 + 7X - 5\), sachant qu’il existe des racines rationnelles.
exo7 3222
Factoriser \(P = X^5 - 13X^4 + 67X^3 - 171X^2 + 216X - 108\) sachant qu’il admet une racine triple.
exo7 3223
Soit \(P = X^5 + aX^2 + 15X - 6i\). Trouver \(a \in \C\) tel que ...
exo7 3224
Donner une condition sur \(\lambda\) pour que l’équation : ...
exo7 3225
Soient \(p,q\in\C\) et \(P(X) = X^5 + pX + q\). Donner une CNS sur ...
exo7 3226
Factoriser ...
exo7 3227
Soient \(P,Q \in { K[X]}\).
exo7 3228
Soit \(\theta \in \R\) tel que \(\sin n\theta \ne 0\). Démontrer que ...
exo7 3229
Démontrer que \(1 + X + X^n\) n’a que des racines simples.
exo7 3230
Quels sont les polynômes \(P \in { K[X]}\) tels que \(P'\) divis ...
exo7 3231
Trouver tous les polynômes \(P \in {\C[X]}\) tels que …
exo7 3233
Soient \(P,Q \in {\C[X]}\) tels que : \(\forall\ z \in \C,\ |P(z)| = |Q(z)|\). D ...
exo7 3234
Soient \(z_0,z_1,\dots,z_n \in \C\) tels que : \(\forall\ P \in \C_{n-1}[X]\), on ...
exo7 3235
Soit \(P \in {\Z[X]}\) tel que \(P(x) = 7\) pour au moins 4 valeurs distinctes ...
exo7 3236
Soit \(\alpha \in \C\). On dit que \(\alpha\) est algébriq ...
exo7 3237
Soit \(P \in {\Q[X]}\) tel que \(P\bigl(\sqrt2\bigr) = 0\). Démontre ...
exo7 3238
Montrer que \(x = 2\cos\frac {2\pi}7\) est racine de \(X^3 + X^2 - 2X - 1\). Quel ...
exo7 3243
Soit \(P \in \R_n[X]\setminus\{0\}\).
Pour \(x\in\R\) on note ...
exo7 3245
Soient \(a_0,\dots,a_n\in\R\) tels que \(|a_0| + \dots + |a_{n-1}| < a_n\). So ...
exo7 3254
Soient \(a,b,c\) les racines de \(X^3 + pX + q\), ...
exo7 3255
Soient \(x_1,x_2,x_3,x_4\) les racines de \(X^4 + X + 1\). Calculer ...
exo7 3256
Soient \(x_1,\dots,x_8\) les racines de \(X^8 + X^7 - X^2 + 3\). Calculer ...
exo7 3257
Soient \(a,b,c\) les racines de \(X^3 - X + 1\). Calculer ...
exo7 3258
Résoudre ...
exo7 3259
Résoudre dans \(\C\) le système : ...
exo7 3261
Soient \(a,b,c \in \C\).
Montrer que ces nombres sont en progression géométrique ...
exo7 3262
Soit \(P = X^3 + pX + q\) de racines \(a,b,c\).
exo7 3263
Soient \(A,B,C\) les points dont les affixes sont les racines de \(X^3 + pX + q\) ...
exo7 3264
Soit \(P = X^4 + aX^2 + bX + c\) de racines \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\). CNS p ...
exo7 3265
Soient \(x_1,x_2,x_3\) les racines de \(X^3 + 2X^2 + 3X + 4\).
Calculer le ...
exo7 3266
Soient \(x_1,x_2,x_3\) les racines de \(X^3 + aX^2 + bX + c\).
Calculer le ...
exo7 3267
Trouver \(\lambda \in \R\) tel que \(2X^3 + 5X^2 - X + \lambda\) ait une racine d ...
exo7 3268
Soit \(n \in \N^*\) et \({\cal E}\) l’ensemble des polynômes à ...
exo7 3269
Soit \(f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d\) avec \(a,b,c,d\) réels. D ...
exo7 3284
Soient \(a_1,\dots,a_n \in K\) distincts et \(P = (X-a_1)\dots(X-a_n)\).
exo7 3285
Soit \(P \in {\C_n[X]}\) \((n \ge 2)\) ayant ...
exo7 3499
Chercher les valeurs propres des matrices :
exo7 3502
Déterminer les valeurs propres de la matrice ...
exo7 3528
On considère le polynôme défini par : \(\forall\ n \in \N,\ P_n(x) = x^n - \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_ix^i\) avec ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 3531
Soit \(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \R\) et ...
exo7 3544
Soit ...
exo7 3552
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 + A^2 + A = 0\). Montrer que ...
exo7 3563
Caractériser les polynômes \(P\) tels que : \(\forall\ A\in\mathcal{M}_n(\C)\), ...
exo7 3565
Le polynôme \(X^{4}+X^{3}+2X^{2}+X+1\) peut-il être le polynôme minimal d’u ...
exo7 357
Soit \(P\) un polynôme. Sachant que le reste de la division euclidienne de \(P\) ...
exo7 3577
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) semblables sur \(\C\) : Il existe ...
exo7 359
Pour quelles valeurs de \(m\) le polynôme \(P=(X+1)^m -X^m-1\) est-il divisible p ...
exo7 3601
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) et ...