Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
c) Détermination d’une application linéaire lorsque $E$ est de dimension finie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Si $(e_i)_{i\in I}$ est une base de $E$ et $(f_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs de $F$, alors il existe une unique application $u\in\mathscr{L}(E,F)$ telle que, pour tout $i\in I$, $u(e_i)=f_i$. Espaces vectoriels isomorphes, caractérisation par la dimension. Pour une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie, équivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité. Un endomorphisme d’un espace de dimension finie inversible à gauche ou à droite est inversible. | Caractérisation de l’injectivité, de la surjectivité, de la bijectivité de $u$. |
Dimension de $\mathscr{L}(E,F)$ si $E$ et $F$ sont de dimension finie. | La démonstration peut être traitée plus tard, à l’aide de la dimension de $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. |
Si $E_1$ et $E_2$ sont des sous-espaces de $E$ tels que $E=E_1\oplus E_2$, si $u_1\in\mathscr{L}(E_1,F)$, $u_2\in\mathscr{L}(E_2,F)$, il existe une unique application $u\in\mathscr{L}(E,F)$ coïncidant avec $u_1$ sur $E_1$ et avec $u_2$ sur $E_2$. |
exo7 2743
Soit \(f\) une application linéaire surjective de \(\mathbb{R}^{4}\) dans ...
exo7 3183
Soit \(\Phi \in \mathcal{L} { K[X]}\) commutant avec la dérivation, c’est à dire : ...
exo7 3312
On considère que \(\C\) est un \(\R\)-espace vectoriel.
exo7 3315
Est-il vrai que \(\mathcal{L}({E\times F})\) et ...
exo7 3337
Soient \(E,F,G\) trois \(K\)-ev avec \(\dim(G)\) ...
exo7 3339
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie. Le centre de ...
exo7 3346
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3350
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose \(K = \mathrm{Ker} f\), ...
exo7 3353
Un idéal à gauche de \(\mathcal{L}(E)\) est un sev \({\cal I}\) de ...
exo7 3356
Soit \(f\) un endomorphisme donné de \(E\) de dimension ...
exo7 5170
Vérifier qu’il existe une unique application linéaire de \(\Rr^3\) dans \(\Rr^2\) ...
exo7 5181
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et soit ...
exo7 5191
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5582
Soient \(E\) un espace de dimension finie et \(F\) et ...
exo7 5592
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace de dimension finie ...
exo7 5598
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 5599
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel non nul de dimension finie ...
exo7 5601
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\Kk\)-espaces vecto ...
exo7 937
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) et ...
exo7 953
Soit \((\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})\) une base de \(\Rr^3\), et ...
exo7 954
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\), ...
exo7 955
\(E\) étant un espace vectoriel de dimension \(n\) sur ...
exo7 963
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de dimension finie et ...
exo7 964
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels et ...
exo7 965
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(\varphi\) et ...