Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 3 – Trigonométrie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Définition de $\cos(\theta)$, $\sin(\theta)$ et $\tan(\theta)$. | |
Périodicité et symétries. | On fait le lien avec les symétries agissant sur le cercle trigonométrique. |
Formules de trigonométrie : Formules découlant des symétries de $\cos$, $\sin$ et $\tan$. | |
$\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$. $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta)$ $\sin(\alpha \pm b) = \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta)$ $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$ $\phantom{\cos(2\theta)} = 2\cos^2(\theta) - 1 = 1 - 2\sin^2(\theta)$ $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ | Les autres formules de trigonométrie ne sont pas des attendus du programme. |
Résolution d’équations trigonométriques simples : $\cos(x) = c$, $\sin(x) = s$ et $\tan(x) = t$. Notations arcccos, arcsin, arctan. | On introduit les notations arccos, arcsin et arctan en donnant les définitions correspondantes en termes de solutions d’équations dans certains intervalles et en admettant l’existence et l’unicité de ces solutions. La fonction arctangente sera construite dans Analyse 6. La construction des fonctions arccosinus et arcsininus n’est pas un attendu du programme. |
Transformation de $a\cos(\theta) + b\sin(\theta)$ en $r\cos(\theta + \varphi)$. Résolution de $a\cos(\varphi) + b\sin(\varphi) = c$. | La méthode (analytique, géométrique voire, ultérieurement, complexe) n’est pas imposée. ⇌ On fait le lien avec diverses situations rencontrées en sciences physiques. |
exo7 1061
Soit \(A(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\) ...
exo7 177
Montrer que : \[2\cos \frac{\pi}{2^n} = \sqrt{2+\sqrt{2+\ldots\sqrt{2}}}.\]
exo7 1950
Soit \(f\) une fonction intégrable au sens de Riemann périodique de période ...
exo7 2089
Calculer les primitives suivantes: ...
exo7 2090
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs: ...
exo7 2318
Sans calculer les intégrales, montrer que \[\int_0^{\pi /2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi /2} \cos^n x dx.\]
exo7 2696
On dispose d’un oscilloscope à deux voies. On applique sur la voie X une tension sinusoı̈dale de pulsation ...
exo7 2697
Sur l’écran d’un oscilloscope on observe la courbe dont les équations paramétriques sont les suivantes: ...
exo7 2943
Soit \(z = \exp\frac {2i\pi}7\) et \(u = z + z^2 + z^4\), ...
exo7 2952
Simplifier :
exo7 2955
Résoudre : \(\sum_{k=0}^{n-1}\,\frac {\cos(kx)}{\cos^kx} = 0\).
exo7 2957
Simplifier \[\sum_{k=1}^n\, \frac 1 {2^k \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta \dots \cos2^{k-1}\theta}.\]
exo7 2958
Soit \(n \in \N\), et \(x \in \R\). Exprimer ...
exo7 2959
Soit \(z \in \mathbb{U}\). Peut-on trouver \(a \in \R\) tel que ...
exo7 3
Écrire sous la forme \(a+ib\) les nombres complexes suivants :
exo7 3501
Soit ...
exo7 3905
Résoudre les équations suivantes :
exo7 3906
Résoudre : \(\cos\theta + \cos(\theta + \pi/3) > 0\).
exo7 3907
\(2\cos^2\theta = 1 + \cos2\theta\).
...
exo7 3908
Soient \(\alpha,\beta,\gamma \in \R\) tels que \(\alpha+\beta+\gamma = \pi\).
exo7 3909
Montrer qu’il existe \(\theta \in {]0, \frac \pi2 [}\) tel que pour tout ...
exo7 3910
Calculer \(\tan p - \tan q\). En déduire la valeur de ...
exo7 3912
Calculer \(\mathrm{cotan} x - 2\mathrm{cotan}2x\). Simplifier ...
exo7 3913
Soit \(ABCDEFG\) un heptagone (7 côtés) plan régulier. On pose \(\alpha = AB\), ...
exo7 3914
Le langage “Pascal” ne dispose pas des fonctions \(\arcsin\) et \(\arccos\). Défi ...
exo7 3916
Résoudre l’équation : \(\arcsin x = \arccos \frac13 - \arccos \frac14\).
exo7 3917
Soit \(x = \arcsin \frac{1+\sqrt5}4\). Calculer \(\cos 4x\) et en déduire ...
exo7 3918
Simplifier \(\arctan \frac {1-x}{1+x}\).
exo7 3919
Existe-t-il une fonction \(f : D \to \R\) telle que : ...
exo7 3920
Simplifier \(\cos(3\arctan x)\) et \(\cos^2\left(\frac 12\arctan x\right)\).
exo7 3921
Simplifier \(\arccos(\cos x) - \frac 12\arccos(\cos 2x)\) pour ...
exo7 3922
Résoudre : ...
exo7 3923
Simplifier \(\frac x2 - \arcsin\sqrt{\frac{1+\sin x}2}\) pour ...
exo7 3924
Simplifier \(\cos(\arctan(\sin(\arctan \frac1x)))\).
exo7 3926
Montrer que : \(4\arctan\frac 15 - \arctan \frac 1{239} = \frac \pi4\).
exo7 3927
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ \arctan x + 2\arctan\bigl(\sqrt{1+x^2} - x\bigr) = \frac \pi2\).
exo7 3928
Soit \(a \in \left[0,\frac \pi2\right[\). On pose ...
exo7 3992
Soit \(n \ge 3\) et \(A_1A_2\dots A_n\) un polygone convexe à ...
exo7 44
Calculer \(\frac{\frac{1+i\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2(1+i)}{2}}\) algébriquement, puis trigonométriquement. En déduir ...
exo7 4436
Montrer que \(\sum_{k=0}^\infty \Arctan\Bigl(\frac1{k^2+k+1}\Bigr) = \frac \pi2\). (On pourra calculer ...
exo7 4528
On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\arccos(\cos nx)}{n!}\).
exo7 4560
[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]
exo7 46
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) et tout nombre \(z\in\mathbb{C}\), on ...
exo7 4606
Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...
exo7 4628
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ |\sin x| = \frac8\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2nx}{4n^2-1}\).
exo7 4677
Soit \(\theta \in \R\). Montrer que si ...
exo7 4897
Soit \(ABC\) un triangle. On note : \(a = BC\), ...
exo7 4899
Soit \(ABC\) un triangle. On note : ...
exo7 4901
Montrer que le support de la courbe paramétrée : \(\begin{cases} x = \cos t\cr y = \cos t+\sin t\cr\end{cases}\) e ...
exo7 4922
Soient \(O,A\) deux points distincts du plan. Trouver les points \(M\) tels que ...