Programme de mathématiques MP, MPI
h) Applications continues sur une partie compacte
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Image continue d’une partie compacte. Théorème de Heine. | |
Théorème des bornes atteintes pour une application numérique définie et continue sur un compact non vide. | On souligne l’importance de la compacité dans les problèmes d’optimisation, notamment en mettant en évidence des situations où l’on prouve l’existence d’un extremum à l’aide d’une restriction à un compact. |
Etude d'une fonction
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Etude de points critiques et d'ue ligne de niveau
Une usine produit deux types de matériaux, notés \(A\) et \(B\). Si, en une semai ...
exo7 1765
Soit \(f:\R^d\rightarrow \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 1841
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) continue telle que : ...
exo7 1873
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé, \(x\) un élément de ...
exo7 2377
Soit \(f:\Rr^n \to \Rr^n\) une application continue. Elle est dite propre si pour tout compa ...
exo7 3389
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) avec : ...
exo7 4742
Soient \(A,B\) deux parties compactes non vides de \(\R^n\).
Montrer qu’il ...
exo7 4744
Soit \(K\) un compact convexe de \(\R^2\) d’intérieur non vide. Soit ...
exo7 4801
Soit \(P\in\C[X]\) et \(U\) un ouvert de \(\C\) ...
exo7 4830
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4834
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés et \(f : E \to F\) con ...
exo7 4835
Soit \(A\) une partie compacte d’un evn \(E\) et ...
exo7 4838
Soit \(\|.\|\) une norme sur \(\R^2\), ...
exo7 5401
Soit \(f\) périodique et continue sur \(\Rr\). Montrer que ...
exo7 6184
Soit \(f\) une surjection continue de \(\Rr^2\) sur ...
exo7 6191
On note \({\mathbb{S}^1}\) le cercle unité dans \({\Rr}^2\), et ...
exo7 6195
Soit \(E\) un espace normé, \(X\) et \(Y\) deux ...
exo7 6202
Soit \(K\) un convexe compact de \(\Rr^2\).
exo7 6207
Soit \(K\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 6775
(D’abord un cas particulier) Dans \(\Rr^3\) on considère les objets suivants : le demi-espace ...
exo7 6797
Soit \(K\) un compact contenu dans \(U\) un ouvert de ...
Optimisation d'une fonction d'efficacité sur un disque fermé
Dans une zone militaire, l’efficacité de détection d’un radar est modélisée par la fonction : ...
Optimisation sous contrainte (1)
Nous allons ici étudier, pas à pas, la résolution d’une question d’optimisation sous-contraintes. Nous souhaitons déterminer le maximum de la fonct ...
Optimisation sous contrainte (2)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs. En réutilisant la méthode ...
Question d'optimisation
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
Étude d'une fonction
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction définie par ...
Étude des extremums d'une fonction de deux variables
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x,y)=x^2+y\) sur l’ensemble : ...