Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Nombres réels et suites numériques
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L’objectif de cette section est de donner une base solide à l’étude des suites réelles. On insiste sur le caractère fondamental de la propriété de la borne supérieure.
Dans l’étude des suites, on distingue nettement les aspects qualitatifs (monotonie, convergence, divergence) des aspects quantitatifs (majoration, encadrement, vitesse de convergence ou de divergence).
- a) Ensembles de nombres usuels 142
- b) Propriété de la borne supérieure 74
- c) Généralités sur les suites réelles 112
- d) Limite d’une suite réelle 324
- e) Suites monotones 64
- f) Suites extraites 34
- g) Traduction séquentielle de certaines propriétés 27
- h) Suites complexes 11
- i) Suites particulières 126
exo7 726
Étant donné \(\alpha\) dans \(]0,1[\), montrer que pour tout entier naturel ...
exo7 7260
Soit \(E\) un plan euclidien orienté, muni d’un repère ...
exo7 7322
Soit \(P = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n \in \Z[X]\). On veut déterminer si \(P\) ...
exo7 7338
Écrire en base 10 le nombre dont l’écriture hexadécimale est \(DA582\).
exo7 7342
Le but de l’exercice est de déterminer une valeur approchée de la racine cubique réelle \(c\) de ...
exo7 736
Soit \(f\) dérivable sur \({\Rr }\) telle que ...
exo7 754
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 7542
Soit \(d\) un entier naturel. Montrer qu’une suite de polynômes ...
exo7 786
Soit \((a,b)\in (\Nn^{*})^{2}\), \(n\in \Nn^{*},\) montrer que le polynôme ...
exo7 818
Soit \(I_{n} = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin ^n tdt\).
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
exo7 837
Calculer \(\lim \limits_{n \rightarrow + \infty} ( \frac{ (2n) ! }{n ! n^n})^{\frac 1n}\).
exo7 839
Soit \(a_{n} = \int_0^1 t^n e^t dt\).
exo7 841
Calculer : ...
exo7 842
Soient \(f\) et \(g\) continues de \([0,1]\) dan ...
exo7 844
Calculer les limites suivantes :
exo7 926
Soit \[E=\big\{(u_{n})_{n\in \Nn}\in \Rr^{\Nn}\ |\ (u_{n})_{n} \text{ converge }\big\}.\] Montrer que l’ensembl ...
Expressions en fonction de $n$
Déterminer l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) pour les suites suivantes ...
Fractions
Calculer les expressions suivantes. On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
...
Irrationalité de $\sqrt{2}$
Montrer que \(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel.
Justifications
Les suites suivantes sont elles arithmétiques ? géométriques ?
La cellule LSTM à la main
Une cellule LSTM maintient deux vecteurs d’état : la cell state \(c_t \in \mathbb{R}\) et l’état caché ...
Limite d'une suite dans $\R^2$
Pour tout \(k \in \N\), on pose ...
Limites
Déterminer les limites des suites suivantes (sans utiliser les équivalents ou négligeabilités).
Limites d'un polynôme ou de fraction rationnelle
Déterminer la limite (si elle existe) de chacune des suites \((u_n)\) définies par
Limites d'un produit
Déterminer la limite (si elle existe) des suites \((u_n)\) définies par
Limites d'un quotient
Déterminer la limite (si elle existe) des suites \((u_n)\) définies par
Limites de somme
Déterminer la limite (si elle existe) des suites \((u_n)\) définies par
Majoration, minoration
Déterminer si les suites suivantes sont majorées, minorées, ou bornées.
La suite \(u\) définie par ...
Monotonie et limite I
On considère la suite \((u_n)\) définie par : ...
Monotonie et limite II
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}^{2}}{1+5u_{n}}\) et ...
Non inclusion
Montrer que \(\Z\not \subset \N\), \(\mathbb{D}\not \subset \Z\) et ...
Suite récurrente I
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et pour tout ...
Suite récurrente II
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et ...
Suite récurrente III
On considère la suite \((u_n)\) définie par ...
Suites adjacentes I
On considère les suites \((u_n)_{n\geq 1}\) et \((v_n)_{n\geq 1}\) définies, pour ...
Suites adjacentes II
On définit la suite \((h_n)_{n\geq 1}\), pour \(n\geq1\), par : ...
Suites et point fixe II
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\) par : ...
Sur la somme de deux ensembles
Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides de ...
Variations
Soit \(u\) la suite définie pour tout \(n\) par ...
Étude d'une suite récurrente et de son équivalent
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(u_1\) un réel strictement positif. On ...