Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Notions fondamentales
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Exemples de sous-ensembles de $\mathbb{R}^2$ : demi-plan, disque, pavé. | On pourra illustrer les opérations ensemblistes à cette occasion (union, intersection). |
Fonctions de deux variables. Ensemble de définition. Fonctions partielles. | |
Surface représentative d’une fonction de deux variables, courbes ou lignes de niveau. | On souligne le lien entre fonctions partielles et certaines sections de cette surface. ⇌ Des illustrations tirées de problèmes de cartographie, thermodynamique ou géologie sont ici pertinentes. |
exo7 4192
Soit \(A \in \R^p\) fixé et \(f : {\R^p} \to \R, M \mapsto {AM^2}\) ...
exo7 4197
\(D_1\), \(D_2\), \(D_3\) sont trois droites d’u ...
exo7 4383
Calculer \(I = \iint_\Delta (x^2 + xy + y^2)\,d xd y\) où ...
exo7 4398
Dans le plan \(Oxy\) on considère la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...
exo7 4399
On coupe une demi-boule par un plan \(P\) parallèle à sa base. Quelle doit être la position de ...
exo7 4410
Calculer \(\sup\{|\cos z| \text{ tel que } |z|\le 1\}\) et ...
exo7 4728
Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...
exo7 5553
Etudier l’existence et la valeur éventuelle d’une limite en \((0,0)\) des fonctions suivantes :
exo7 5558
Trouver les extrema locaux de
exo7 5560
Soit \(a\) un réel strictement positif donné. Trouver le minimum de ...
exo7 5888
Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...
exo7 5902
Maximum du produit des distances d’un point \(M\) intérieur à un triangle \(ABC\) ...
exo7 5903
Minimum de \(f(x,y) =\sqrt{x^2+(y-a)^2}+\sqrt{(x-a)^2+y^2}\), \(a\) réel donné. ...
exo7 5932
Cet exercice fournit une autre méthode de calcul du volume de la boule unité \(\mathcal{B}_{n}\) de ...
exo7 6306
Déterminer les extremums (locaux et/ou globaux) de:
exo7 6775
(D’abord un cas particulier) Dans \(\Rr^3\) on considère les objets suivants : le demi-espace ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Fonction de deux variables et surface représentative
A chaque fonction définie ci-dessous (1-6), associer sa surface représentative (A-F).
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Fonction Logarithmique
On considère la fonction définie par \(f(x,y)=\ln(4-x^2-y^2)\).
Gradient et lignes de niveau
On considère une colline modélisée par la fonction altitude \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Identification de graphes de fonctions
Un élève a collecté les graphes de fonctions des exercices précédents mais ne se souvient plus à quel exercice correspond chaque graphe. Pour chacu ...
Lignes de niveau d'un polynôme
Soit \(f\ : \R^{2} \to \R\) définie par \(f(x,y) = x^{2}-4x +y^{2}+6y\).
Limite et continuité
Soit la fonction \(g \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Lire une vallée quadratique
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Optimiser sur un triangle
On considère le triangle \[T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\geq0,\ y\geq0,\ x+y\leq2\}\] et la fonction ...
Perceptron multicouche et détection d'un triangle du plan
On considère le triangle \(T\) du plan dont les sommets sont \(A = (1, 1)\), ...
Reconnaître une bande du plan
Un point \((x,y)\) reçoit l’étiquette \(1\) si les deux mesures ...
Représentation graphique de sous-ensembles de $\mathbb{R}^2$
Représenter graphiquement les sous-ensembles suivants de \(\mathbb{R}^2\). Lesquels sont des ouverts ? Aucune just ...
Étude d'un domaine de $\R^2$
Soit \(D = \{(x,y) \in \R^2 \, , \, x > 0 \, , \, x+y \leq 0\}\) un domaine de ...
Étude d'une fonction
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction définie par ...
Étude d'une fonction de deux variables
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Étude d'une fonction de deux variables
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Étude des extremums d'une fonction de deux variables
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x,y)=x^2+y\) sur l’ensemble : ...