Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 4 – Nombres complexes
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Ce chapitre est entièrement nouveau pour la majorité des étudiants.
L’ensemble des nombres complexes est introduit pour munir le plan d’opérations compatibles avec celles déjà pratiquées sur la droite réelle. Cela permet de trouver, sans exhaustivité, des solutions à des équations algébriques. Ces équations seront essentiellement à coefficients réels, de petit degré et utiles par exemple pour alléger l’étude des suites réelles récurrentes linéaires à coefficients constants et des équations différentielles linéaires à coefficients constants.
- a) Écriture algébrique des nombres complexes 98
- b) Formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes 119
- c) Application aux équations du second degré. 48
exo7 2924
Soient \(u,v \in \C\). Montrer que \(|u+v| + |u-v| \ge |u| + |v|\), et dé ...
exo7 2925
Montrer que toute droite du plan admet pour équation complexe : \(az + \overline{az} = b\) avec ...
exo7 2927
Soient \(a,b \in \mathbb{U}\) distincts et \(z \in \C\). On note ...
exo7 2928
Soient \(a,b,c \in \C\) distincts. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
exo7 2929
Soient \(a,b,c,d \in \C\) tels que ...
exo7 2930
Déterminer les nombres \(z \in \C\) tels que \(\dots\)
exo7 2931
Trouver \(a,b,c \in \mathbb{U}\) tels que ...
exo7 2932
Soient \(u,v,w\) trois complexes unitaires tels que \(u+v+w = 0\). Montrer que ...
exo7 2933
Trouver les complexes \(z \in \C^*\) tels que \(\left|z + \frac 1z\right| = 2\). ...
exo7 2935
Soient \(a,b,c,d \in \C\) deux à deux distincts. Montrer que si deux des rapports ...
exo7 2937
Soient \(a,b,c \in \C\), affixes de points \(A,B,C\) non alignés. Ca ...
exo7 2938
Soient \(u,v \in \C\) tels que \(u+v \ne 0\). On pose ...
exo7 2940
Soit \(\omega = \exp\frac {2i\pi}n\). Calculer :
exo7 2942
Soient \(n \in \N^*\), \(\omega = e^{2i\pi/n}\) et ...
exo7 2943
Soit \(z = \exp\frac {2i\pi}7\) et \(u = z + z^2 + z^4\), ...
exo7 2945
Soit \(z \in \C\) et \(p,q\) ses racines carrées. A quelle condition ...
exo7 2946
Résoudre dans \(\C\) : \(z^4 - (5-14i)z^2 -2(5i+12) = 0\).
exo7 2948
Comment faut-il choisir \(m \in \C\) pour que l’équation : ...
exo7 2949
Soient \(u,v \in \C\). Vérifier que ...
exo7 2950
Soient \(u,v \in \C\). Montrer que \(|u+v|^2 + |u-v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2\).
exo7 2951
A l’aide de formules du binôme, simplifier :
exo7 2952
Simplifier :
exo7 2953
Soit \(a \in \R\). Résoudre : ...
exo7 2954
Soit \(\theta \in \R\).
exo7 2956
Résoudre en \(x\) : ...
exo7 2958
Soit \(n \in \N\), et \(x \in \R\). Exprimer ...
exo7 2959
Soit \(z \in \mathbb{U}\). Peut-on trouver \(a \in \R\) tel que ...
exo7 3
Écrire sous la forme \(a+ib\) les nombres complexes suivants :
exo7 30
Montrer que les solutions de \(az^2+bz+c=0\) avec \(a\), ...
exo7 3186
Montrer que pour tout entier \(n \in \N\) il existe un unique polynôme ...
exo7 32
Trouver les racines complexes de l’équation suivante : \[x^4-30x^2+289=0.\]
exo7 3221
Trouver les racines de \(P(X) =X^4-3X^3+6X^2-15X+5\) sachant que deux racines, ...
exo7 3261
Soient \(a,b,c \in \C\).
Montrer que ces nombres sont en progression géométrique ...
exo7 33
Pour \(z \in \Cc \setminus \{2i\}\), on pose \[f(z)=\frac{2z-i}{z-2i}.\]
exo7 34
On note \(j = e^{2 \pi \over 3}.\)
exo7 3473
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) de rang 1. On écrit \(M = P + iQ\) avec ...
exo7 35
Calculer les racines carrées de \(1+i\), \(7+24i\), ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 36
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :
exo7 37
On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E)\) suivante: ...
exo7 38
Pour \(\alpha\in\Rr\), résoudre dans \(\Cc\) l’équation ...
exo7 3898
Soient \(a,b\in \R\). Étudier l’existence de solutions pour le système : ...
exo7 399
Montrer que le polynôme \(nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}+(n+2)X-n\) admet une racine multiple. Application : déterminer les ...
exo7 4
Placer dans le plan cartésien, les points d’affixes suivantes : ...
exo7 40
Pour tout nombre complexe \(Z\), on pose \(P(Z)=Z^4-1\).
exo7 43
Trouver les racines cubiques de \(2-2i\) et de \(11+2i\).
exo7 4363
Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...
exo7 44
Calculer \(\frac{\frac{1+i\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2(1+i)}{2}}\) algébriquement, puis trigonométriquement. En déduir ...
exo7 4404
Soit \(z\in\C\). Montrer que \(\left(1+\frac zn\right)^n \to e^z\) lorsque ...
exo7 4405
Soit \(z \in \C\). Montrer que \(|e^z-1| \le e^{|z|}-1 \le |z|e^{|z|}\).