Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
d) Lois usuelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Lois certaine, uniforme, de Bernoulli, binomiale. | Les étudiants doivent savoir reconnaitre les situations classiques de modélisation par des lois uniformes, de Bernoulli et binomiale. On fait le lien entre la loi de Bernoulli et les variables indicatrices. |
Espérance et variance d’une variable de loi certaine, d’une variable de loi de Bernoulli (ou indicatrice), d’une variable de loi binomiale. | |
Espérance d’une variable de loi uniforme sur $\{1, 2, \ldots, n\}$. | La formule de la variance d’une variable de loi uniforme est hors programme. |
Loi de la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes et de même paramètre. | ⇌ Simulation de variables aléatoires suivant une loi binomiale. |
Analyse de covariance et moments d'une loi normale
On considère deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(U\) indépendantes, ...
Approximation d'une loi binomiale par une loi normale
\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-t ...
Approximation par une loi normale
On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0.05\) est fausse et sur des pièces de d ...
Assurance vie, loi du nombre de décès et bénéfice annuel
Une compagnie assure \(N=10\,000\) clients sur la vie, qui paient chacun une prime annuelle de ...
Calcul par approximation
Un fournisseur d’accès internet met en place un point local d’accès qui dessert \(5\,000\) abonnés. À un instant d ...
Contrôle de qualité sur des pièces d'un euro
On effectue un contrôle sur des pièces d’un euro dont une proportion \(p = 0{,}05\) est fausse. On considère un lo ...
Deux approximations
Une machine produit des rondelles métalliques en grande série. Une rondelle est acceptée si son diamètre extérieur est compris entre ...
Dilemme
On considère deux avions \(A\) et \(B\) ayant respectivement 4 et 2 moteurs. Les ...
Double jeu et probabilités discrètes
Un joueur effectue une suite de parties de pile ou face indépendantes, avec probabilité \(p\) d’obtenir pile à cha ...
Estimation par inégalité
Une population de personnes doit voter à l’élection présidentielle. La proportion souhaitant voter pour la candidate Mme A. est inconnue, on la not ...
Estimation par inégalité
On sait qu’une personne sur cent est dyslexique. Lors des journées "citoyens", on détecte ce problème. Sur \(n\) j ...
exo7 5996
Dans les barres de chocolat N., on trouve des images équitablement réparties des cinq personnages du dernier Walt Disney, une image par tablette. M ...
exo7 6005
Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affranchissements des courriers publicitaires à envoyer aux clients. P ...
exo7 6007
Un avion peut accueillir 20 personnes; des statistiques montrent que 25% clients ayant réservé ne viennent pas. Soit ...
exo7 6008
L’oral d’un concours comporte au total 100 sujets; les candidats tirent au sort trois sujets et choisissent alors le sujet traité parmi ces trois s ...
exo7 6009
Un candidat se présente à un concours où, cette fois, les 20 questions sont données sous forme de QCM. A chaque question, sont proposées 4 réponses ...
exo7 6010
Dans une poste d’un petit village, on remarque qu’entre 10 heures et 11 heures, la probabilité pour que deux personnes entrent durant la même minut ...
exo7 6012
Un industriel doit vérifier l’état de marche de ses machines et en remplacer certaines le cas échéant. D’après des statistiques précédentes, il éva ...
exo7 6019
Pour chacune des variables aléatoires qui sont décrites ci-dessous, indiquez quelle est la loi exacte avec les paramètres éventuels (espérance, var ...
exo7 6020
On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont une proportion \(p=0.02\) est défectueuse.
exo7 6021
On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0,05\) est fausse et sur des pièces de 2 ...
exo7 6022
On jette un dé 180 fois. On note \(X\) la variable aléatoire : <<nombre de sorties du 4>>.
exo7 6023
Aux dernières élections présidentielles en France, le candidat A a obtenu \(20\)% des voix. On prend au hasard dan ...
exo7 6024
On suppose qu’il y a une probabilité égale à \(p\) d’être contrôlé lorsqu’on prend le tram. Monsieur A fait ...
exo7 6025
Un échantillon de \(10\,000\) personnes sur une population étant donné, on sait que le taux moyen de personnes à s ...
exo7 6026
Un vol Marseille - Paris est assuré par un Airbus de \(150\) places ; pour ce vol des estimations ont montré que l ...
exo7 6895
On veut transmettre un message électronique composé des digits 0 et 1. Les conditions imparfaites de transmission font en sorte qu’il y a une proba ...
exo7 6902
Soit \(n\) un entier strictement positif. Quelle est la loi du nombre de garçons dans une famille de ...
exo7 6903
Une usine fabrique des transistors. Chaque transistor a une probabilité de 3% d’être défectueux. Quelle est la loi du nombre de transistors défectu ...
exo7 6904
L’entreprise Luminex fabrique des lampes, dont 80% durent plus de 3000 heures. Des tests sont effectués sur des échantillons de taille ...
exo7 6905
Un transporteur aérien a observé que 25% en moyenne des personnes ayant réservé un siège pour un vol ne se présentent pas au départ. Il décide d’ac ...
exo7 6906
On lance \(10\) fois une pièce supposée bien équilibrée. On désigne par \(X\) la ...
exo7 6909
On lance quatre dés. Quelle est la probabilité d’obtenir deux 6 et deux 3 ?
exo7 6916
On lance deux dés à 6 faces. Soit \(X_1\) le résultat du premier dé, \(X_2\) le r ...
exo7 6917
Une urne contient 10 boules rouges et 5 boules blanches.
exo7 6918
Pour une élection, une population de \(N\) individus a eu à choisir entre voter pour le candidat ...
exo7 6934
Sur un lot de 700 boulons soumis à des essais de rupture, 300 ont résisté. Sur un second lot de 225, 125 ont résisté. Peut-on admettre, au seuil de ...
exo7 6945
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\).
Gain aléatoire sur une cible
Un joueur tire "parfaitement au hasard" sur une cible de 10 cm de rayon, constituée de deux parties : un disque central de rayon 5 cm, numéroté 1, ...
Identification de lois usuelles
Pour chacune des situations suivantes, déterminer la loi de la variable aléatoire \(X\) et donner son espérance. ...
Introduction à la loi binomiale
Une urne contient 2 boules noires et 8 boules blanches.
Jeu de boules
On tire \(4\) boules avec remise dans une urne contenant des boules numérotées de ...
Lancers de dé
On lance \(720\) fois un dé équilibré.
Loi binomiale et approximation normale
Une entreprise fabrique en grande série des capteurs. La probabilité qu’un capteur soit défectueux est ...
Loi binomiale sur tableur
Créer sur tableur la table des probabilités et des probabilités cumulées de \(\mathcal B(100,0{,}4)\), puis le dia ...
Lois usuelles
Un examen comporte un écrit et un oral.
Modélisation avec des estimateurs
Lors d’une élection, un candidat a obtenu 65% des voix. On considère deux échantillons de votants.
Modélisation du nombre de connexions simultanées
Un fournisseur d’accès à Internet met en place un point local d’accès, qui dessert \(5000\) abonnés. Chaque abonné ...
Optimisation par approximation
Un usager de train effectue régulièremment \(100\) trajets par mois en première classe. On admet qu’à chacun de se ...