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Soit \(G\) un groupe multiplicatif et \(a \in G\) d’ordre ...

Soit \(G\) un groupe n’ayant pas de sous-groupe non trivial. Montrer que \(G\) es ...

Calculer, en précisant la méthode suivie, \[a=\text{pgcd} (720,252) \quad\quad b = \text{ppcm} (720,252)\] ainsi ...

Soit \(G\) un groupe commutatif fini d’ordre \(n = ab\) avec ...

Démontrer : \[a\wedge(b_1b_2)=1 \Leftrightarrow (a\wedge b_1=1 \text{ et } a\wedge b_2 =1),\] puis par récurence ...

On considère le groupe \(G = \Z^2\). Une base de ...

Démontrer pour \(m,n \in \Nn^*\) : ...

Déteminer deux entiers naturels connaissant leur somme, \(1008\), et leur pgcd, ...

Soit \(A = \{ m/n \in \Q \text{ tel que } n \text{ est impair} \}\).

Soit \(A = \{ a + bi \text{ tq } a,b \in \Z\}\).

Soit \(K\) un corps fini. Pour \(x\in K^*\) on note ...

Notons \(a=1\;111\;111\;111\) et \(b=123\;456\;789\).

Soient \(m\) et \(n\) deux entiers ...

Résoudre dans \({\Zz}:1665x+1035y=45.\)

Soient \(a,b \in \N\). On pose \(m = \text{ppcm}(a,b)\) et ...

Soit \(b \in \N\setminus \{0,1\}\) et \(p \in \N\). Montrer que pour tout entier ...

Soit \(n \in \N^*\). Montrer qu’il existe \(p \in \N\) et ...

Soient \(n,p \in \N^*\) avec \(n < p!\). Montrer qu’il existe un unique ...

On note \(a_n = 25^n + 2^{3n+4}\).

Montrer qu’il n’existe pas d’entiers \(m\) et \(n\) tels que ...

Soient \(a\in\Z\) et \(b\in\N^*\). Montrer que : ...

Soit \(m\) et \(n\) deux entiers positifs.

Trouver une CNS pour que \(ax+b\equiv 0 \ \rm{mod} \ n\) ait une solution.

Soit \(\sigma\) un \(k\)-cycle de \({\cal S}_n\) ...

Calculer \(\mbox{pgcd}(18,385)\) par l’algorithme d’Euclide, en déduire un couple ...

Soit \(n\in\N\), \(n\ge 2\). Montrer que si ...

Soit \(p \in \N\) premier. Montrer que pour \(1 \le k \le p-1\), ...

Soit \(p \in \N^*\) premier et \(n \in \N^*\), ...

Montrer que : \(\forall\ n \in \Z\), \(n^7 \equiv n (\mathrm{mod}\, {42})\).

Vérifier \(10^6 \equiv 1 (\mathrm{mod}\, 7)\).

Quel est le dernier chiffre de \(7^{7^{7^{7^{7^{7^7}}}}}\) ?

Soient \(x,y\in \N\), \(y \ge 3\). Montrer par récurrence sur ...

Montrer que pour tout \(n \in \N\), \(3^{2n+1} + 2^{n+2}\) est divisible par ...

Déterminer le reste de la division euclidienne de \(2^{10n-7} + 3^{5n-2}\) par ...

Soient \(a,b \in \Z\) et \(n \in \N^*\). Montrer que : ...

Trouver \(a\) et \(b\) entiers naturels tels que

Montrer que : \(\forall\ a,b,c \in \Z\), ...

Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9.

Montrer que : \(\forall\ n \in \Z\), \(n^2 + 3n + 5\) n’est pas divisible par 121 ...

Montrer que pour tout entier \(n\in\Z\), \(n(2n+1)(7n+1)\) est divisible par 6. ...

Montrer sans calculatrice que \(2^{32} + 1\) est divisible par 641.

Trouver tous les couples \((x,y) \in \N^2\) tels que \(3^x7^y\) se termine par 1 ...

Soit \(a \in \N\) premier à 10.

Montrer que pour tous entiers \(m\) et \(n\), le nombre ...

Soient \(p,q\) premiers impairs tels que \(q\mid2^p-1\). Montrer que ...

Infirmer ou justifier le critère de divisibilité par \(7\) suivant retrouvé ...

Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) les équations : ...

Soient \(a,b,c \in \Z\) tels que \(a\wedge b = 1\). Montrer que ...

Soient \(a,b\) entiers, \(d = a \wedge b\), ...

Soient \(a,b \in \Z\). Chercher \((a-b)^3 \wedge (a^3 - b^3)\).