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Soit \(G\) un groupe cyclique engendré par \(a\) d’ordre ...

Soit \(m\) et \(n\) deux entiers positifs.

Trouver une CNS pour que \(ax+b\equiv 0 \ \rm{mod} \ n\) ait une solution.

Soit \(p \in \N\) premier. Montrer que pour \(1 \le k \le p-1\), ...

Soit \(p \in \N^*\) premier et \(n \in \N^*\), ...

Montrer que : \(\forall\ n \in \Z\), \(n^7 \equiv n (\mathrm{mod}\, {42})\).

Vérifier \(10^6 \equiv 1 (\mathrm{mod}\, 7)\).

Quel est le dernier chiffre de \(7^{7^{7^{7^{7^{7^7}}}}}\) ?

Soient \(x,y\in \N\), \(y \ge 3\). Montrer par récurrence sur ...

Montrer que pour tout \(n \in \N\), \(3^{2n+1} + 2^{n+2}\) est divisible par ...

Déterminer le reste de la division euclidienne de \(2^{10n-7} + 3^{5n-2}\) par ...

Soient \(a,b \in \Z\) et \(n \in \N^*\). Montrer que : ...

Montrer que : \(\forall\ a,b,c \in \Z\), ...

Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9.

Montrer que : \(\forall\ n \in \Z\), \(n^2 + 3n + 5\) n’est pas divisible par 121 ...

Montrer que pour tout entier \(n\in\Z\), \(n(2n+1)(7n+1)\) est divisible par 6. ...

Montrer sans calculatrice que \(2^{32} + 1\) est divisible par 641.

Trouver tous les couples \((x,y) \in \N^2\) tels que \(3^x7^y\) se termine par 1 ...

Soit \(a \in \N\) premier à 10.

Montrer que pour tous entiers \(m\) et \(n\), le nombre ...

Soient \(p,q\) premiers impairs tels que \(q\mid2^p-1\). Montrer que ...

Infirmer ou justifier le critère de divisibilité par \(7\) suivant retrouvé ...

Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) les équations : ...

Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) le système suivant : ...

Soient \(a,m,n\ \in \N^{*}\), \(a\ge 2\), et ...

Soient \(a,b,a',b' \in \Z\) avec \(b \wedge b' = 1\). Montrer que le ...

Résoudre :

Une bande de 17 pirates dispose d’un butin composé de \(N\) pièces d’or d’é ...

Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) les équations : ...

Montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers \(p\) tels que ...

On rappelle que si \(p\) est premier et \(n\wedge p = 1\), alors ...

Montrer que si \(a\) divise \(42n+37\) et ...

Résoudre dans \(\Z/37\Z\) :

Dresser la liste des cubes dans \(\Z/13\Z\).

Soient \(n,p \ge 2\). Montrer que : \(n \wedge p = 1 \iff \exists\ k > 0\) tel ...

Montrer que pour tout entier \(a\) impair et tout \(n\ge 3\) : ...

Démontrer que \(f\) est une permutation de \(E\).

Soit \(p\) un nombre premier impair. Montrer que \(\dot k\) est un carré ...

Soit \(n\) un entier premier impair supérieur ou égal à  ...

Soit \(p\) un nombre premier. Montrer que ...

Soit \(p\) un nombre premier impair.

Soit \(P\in\Z[X]\) non constant et \(E\) l’ensemble des diviseurs premiers d’au m ...

En divisant un nombre par \(8\), un élève a obtenu \(4\) pour reste ; en divisant ...

Pour quels \(n\in \N\) le polynôme \((1+X^4)^n - X^n\) est-il divisi ...

Soit \(p\) un nombre premier.

Soit \(p \in \mathbb{Z}\) un nombre premier. Montrer que si \(a\in \mathbb{Z}\) n ...

Démontrer que tout nombre premier \(p\) divise \((p-1)!+1\).

Soit \(X\) l’ensemble des nombres premiers de la forme \(4k + 3\) avec ...

Montrer que \((0,0,0)\) est le seul triplet \((x,y,z)\) d’entiers naturels tels q ...

Déterminer les solutions des équations : \[x^2-5x-11 \equiv 0\ \rm{mod}\ 17;\ \ \cos((n^2-8n+2)\pi/7)=1\]