Texte officiel du programme
Cette section, qui a vocation à interagir avec l’ensemble du programme, a pour objectif de donner aux étudiants une bonne pratique des variables aléatoires dans le cadre fini.
Pour enrichir la pratique de la modélisation probabiliste développée au lycée, on met en évidence qu’une situation probabiliste finie peut être décrite par un $n$-uplet de variables aléatoires, l’univers étant vu dans cette optique comme une source suffisante d’aléa. L’objectif de cette présentation est de pouvoir travailler le plus tôt possible avec des événements construits en termes de variables aléatoires. La construction d’un univers fini susceptible de porter un $n$-uplet de variables aléatoires peut être présentée, mais ne constitue pas un objectif du programme.
Les exemples et activités proposés sont de nature plus conceptuelle qu’au lycée. On pourra faire travailler les étudiants sur des marches aléatoires ou des chaînes de Markov en temps fini, des graphes aléatoires, des inégalités de concentration...
Le programme de probabilités de première année s’achève sur une approche non asymptotique de la loi faible des grands nombres qui justifie l’approche fréquentiste des probabilités.
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L’oral d’un concours comporte au total 100 sujets; les candidats tirent au sort trois sujets et choisissent alors le sujet traité parmi ces trois s ...
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Un candidat se présente à un concours où, cette fois, les 20 questions sont données sous forme de QCM. A chaque question, sont proposées 4 réponses ...
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Dans une poste d’un petit village, on remarque qu’entre 10 heures et 11 heures, la probabilité pour que deux personnes entrent durant la même minut ...
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Un industriel doit vérifier l’état de marche de ses machines et en remplacer certaines le cas échéant. D’après des statistiques précédentes, il éva ...
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Pour chacune des variables aléatoires qui sont décrites ci-dessous, indiquez quelle est la loi exacte avec les paramètres éventuels (espérance, var ...
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On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont une proportion \(p=0.02\) est défectueuse.
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On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0,05\) est fausse et sur des pièces de 2 ...
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On jette un dé 180 fois. On note \(X\) la variable aléatoire : <<nombre de sorties du 4>>.
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Aux dernières élections présidentielles en France, le candidat A a obtenu \(20\)% des voix. On prend au hasard dan ...
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On suppose qu’il y a une probabilité égale à \(p\) d’être contrôlé lorsqu’on prend le tram. Monsieur A fait ...
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Un échantillon de \(10\,000\) personnes sur une population étant donné, on sait que le taux moyen de personnes à s ...
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Un vol Marseille - Paris est assuré par un Airbus de \(150\) places ; pour ce vol des estimations ont montré que l ...
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On lance deux dés à 6 faces. Décrire l’ensemble \(\Omega\) des résultats possibles et la probabilité ...
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Au loto, on choisit 6 numéros principaux, qui sont 6 nombres différents entre 1 et 49, et un numéro complémentaire, qui est un nombre entre 1 et 49 ...
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Une urne contient une boule rouge, trois boules vertes et seize boules blanches. La boule rouge permet de gagner 10 euros, chaque boule verte perme ...
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On lance trois dés non pipés. On note le nombre de points (1, 2, 3, 4, 5 ou 6) qui apparaît sur la face supérieure de chaque dé. Calculer la probab ...
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Les trois mousquetaires (donc quatre personnes) ont mélangé leurs bottes dans le couloir de l’auberge. D’Artagnan se lève le premier et prend deux ...
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On tire simultanément 6 cartes dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d’avoir exactement 2 dames et 3 trèfles ?
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On veut transmettre un message électronique composé des digits 0 et 1. Les conditions imparfaites de transmission font en sorte qu’il y a une proba ...
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Aurore arrive en retard en cours avec une probabilité \(1/2\). Elle ne va pas en cours avec une probabilité ...
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On a décelé dans une certaine population une probabilité de 0,01 pour qu’un enfant soit atteint par une maladie M. La probabilité qu’un enfant qui ...
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Les ampoules de la marque X sont fabriquées dans deux usines, A et B. 20\(\%\) des ampoules de l’usine A et 5 ...
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Une personne lance deux dés à 6 faces et dit qu’elle a obtenu au moins un nombre pair. Quelle est la probabilité que les deux nombres obtenus soien ...
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Il y a \(5\%\) de daltoniens chez les hommes et \(0,25\%\) chez les femmes. Il y ...
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Deux urnes sont remplies de boules. La première contient 10 boules noires et 30 boules blanches. La seconde contient 20 boules noires et 20 boules ...
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Soit \(n\) un entier strictement positif. Quelle est la loi du nombre de garçons dans une famille de ...
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Une usine fabrique des transistors. Chaque transistor a une probabilité de 3% d’être défectueux. Quelle est la loi du nombre de transistors défectu ...
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L’entreprise Luminex fabrique des lampes, dont 80% durent plus de 3000 heures. Des tests sont effectués sur des échantillons de taille ...
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Un transporteur aérien a observé que 25% en moyenne des personnes ayant réservé un siège pour un vol ne se présentent pas au départ. Il décide d’ac ...
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On lance \(10\) fois une pièce supposée bien équilibrée. On désigne par \(X\) la ...
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Dans une dictature militaire, le dictateur veut augmenter le nombre de naissances de garçons. Il impose la règle suivante : si une femme donne nais ...
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On lance quatre dés. Quelle est la probabilité d’obtenir deux 6 et deux 3 ?
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On lance deux dés à 6 faces. Déterminer la loi de la variable aléatoire donnant le maximum des deux chiffres obtenus.
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On considère \(\Omega=\{1,2,3,4\}\). Parmi les choix suivants, quels sont ceux qui donnent une probabilité ...
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Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \(Z=(X,Y)\), avec ...
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Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\), avec ...
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Charles ne supporte pas les chats et Sophie déteste les chiens. Charles n’élève pas plus d’un chien et Sophie pas plus d’un chat. La probabilité po ...
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Dans une pile de \(n\) (\(n \geq 2\)) feuilles dactylographiées, se trouvent les ...
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On lance deux dés à 6 faces. Soit \(X_1\) le résultat du premier dé, \(X_2\) le r ...
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Une urne contient 10 boules rouges et 5 boules blanches.
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Pour une élection, une population de \(N\) individus a eu à choisir entre voter pour le candidat ...
exo7 6919
Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\), avec ...
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Soit \(U\) et \(V\) deux variables aléatoires de même loi, à valeurs dans ...
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On suppose que le nombre de pièces sortant d’une usine donnée en une journée est une variable aléatoire d’espérance ...
exo7 6928
Pour étudier les particules émises par une substance radioactive, on dispose d’un détecteur. On note \(X\) la vari ...
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Sur un lot de 700 boulons soumis à des essais de rupture, 300 ont résisté. Sur un second lot de 225, 125 ont résisté. Peut-on admettre, au seuil de ...
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A la suite de la formulation des lois de Mendel, Bateson a effectué des croisements avec des pois de senteur afin d ...
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Soient \(A\) et \(B\) deux événements indépendants. Montrer que ...
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Soit \((X_n)_{n\geq 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre ...
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Soit \(X\) une variable aléatoire de loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\).