Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Géométrie du plan et de l’espace
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À l’issue de la terminale, les étudiants connaissent le plan géométrique euclidien et l’espace géométrique euclidien de dimension 3 en tant qu’ensembles de points, la façon d’associer à deux points $A$ et $B$ le vecteur $\overrightarrow{AB}$, ainsi que les propriétés opératoires usuelles. À ce titre, on pourra utiliser la notation $B=A+\vec{u}$, équivalente à $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$.
Cette section permet d’illustrer géométriquement la théorie des systèmes linéaires et de renforcer l’intuition géométrique en lien avec l’étude des espaces vectoriels abstraits. Il convient d’avoir recours à de nombreuses figures en dimension 2 et en dimension 3.
exo7 7495
Soit \(A(0,0)\) et \(B(3,0)\) deux points d’un plan affine euclidien muni d’un re ...
exo7 7496
Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soit \(\mathcal{R}=(O,i,j)\) un repère carté ...
exo7 7498
Rappeler la construction des centres d’homothéties qui envoient un cercle sur un autre de rayon différent.
Construire un cercle tangent à de ...
exo7 75
Déterminer les nombres complexes \(z\in \Cc^{*}\) tels que les points d’affixes ...
exo7 7500
Dans l’espace vectoriel euclidien \(\Rr^3\) muni du produit scalaire standard et de la base canonique ...
exo7 7503
On considère dans le plan euclidien orienté un point \(A\) et la rotation \(r\) d ...
exo7 7505
On munit le plan affine euclidien \((P,<,>)\) d’un repère orthonormé ...
exo7 7506
On identifie le plan affine \(\R^2\) muni du produit scalaire standard à l’espace vectoriel ...
exo7 7507
Démontrer que si \(A, B, C\) sont trois points distincts d’un plan affine euclidien ...
exo7 7510
Dans l’espace affine \(\mathcal{E}\) muni d’un repère orthonormé ...
exo7 7517
Soit \((\R_{ev}^3, standard)\) l’espace euclidien standard muni de la base canonique.
Déterminer une base o ...
exo7 7667
Soit \(S\) la surface de \(\Rr^3\) d’équation ...
exo7 7836
Résoudre dans \(\Zz^3\) l’équation \(a^2+b^2=c^2\).
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...
exo7 794
Soient \(f\) et \(g\) de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 887
Soit \(\R_+^*\) muni de la loi interne \(\oplus\) définie par ...
exo7 888
Parmi les ensembles suivants reconnaı̂tre ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.
...
exo7 890
Déterminer si \({ \Rr}^{2}\), muni des lois internes et externes suivantes, est ou n’est pas un ...
exo7 891
Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :
exo7 892
Montrer que l’ensemble ...
exo7 894
On munit \(\Rr^2\) de l’addition usuelle et de la loi externe ...
exo7 912
Dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\), les trois fonctions ...
exo7 916
Soit \(\alpha \in \Rr\) et soit \(f_{\alpha} : \Rr\rightarrow \Rr\) la fonction d ...
exo7 918
Montrer que les familles suivantes sont libres dans \({\Rr}^{{\Rr}},\) et ce quelque soit ...
exo7 928
Soient \(f\) et \(g\), applications de ...
exo7 966
Soient \(U\) et \(V\) deux ensembles non vides et ...
exo7 999
On munit \(E={ \Rr}^{*}_{+}\times { \Rr}\) de la loi interne “addition” + : ...
Gradients matriciels et règle de la chaîne
On se place dans l’espace des matrices réelles \(\mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})\). On munit cet espace du produit s ...
Lignes de niveau d'un polynôme
Soit \(f\ : \R^{2} \to \R\) définie par \(f(x,y) = x^{2}-4x +y^{2}+6y\).
Limite d'une suite dans $\R^2$
Pour tout \(k \in \N\), on pose ...
Optimisation quadratique, moindres carrés
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1, 1]\) par ...
Perceptron multicouche et détection d'un triangle du plan
On considère le triangle \(T\) du plan dont les sommets sont \(A = (1, 1)\), ...
Régression linéaire
On dispose d’observations \((x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\). On cherche les "meilleurs" coefficients ...
Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$
On se place dans \(\mathbb{R}^4\). On considère ...
Une couleur est-elle une nuance de rouge ?
Une couleur est codée par un triplet \((r,g,b)\in[0,1]^3\) (rouge, vert, bleu). Un perceptron à trois entrées de p ...
Vrai/Faux sur les espaces vectoriels
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.