Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
b) Conjugaison et module
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Conjugaison, compatibilité avec les opérations. | Image du conjugué dans le plan complexe. |
Module. Relation $\lvert z\rvert^2=z\overline{z}$, module d’un produit, d’un quotient. Inégalité triangulaire, cas d’égalité. | Interprétation géométrique de $\lvert z-z'\rvert$, cercles et disques. |
exo7 5896
Déterminer \(\text{Max}\{|\sin z|,\;z\in\Cc,\;|z|\leqslant1\}\).
exo7 592
Soit \(f:\Cc\rightarrow \Cc\) définie par : ...
exo7 60
Déterminer l’ensemble des nombres complexes \(z\) tels que :
exo7 61
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation (1) \((z-2)/(z-1)=i.\) On donnera la solu ...
exo7 6178
Montrer que les sous-groupes compacts du groupe multiplicatif \(\Cc^*\) sont contenus dans ...
exo7 62
Le plan \(P\) est rapporté à un repère orthonormé et identifié à l’ensemble ...
exo7 63
Le plan \(P\) est rapporté à un repère orthonormé et on identifie \(P\) à l’ensem ...
exo7 65
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes \(z\) tels que ...
exo7 66
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes \(z\) tels que ...
exo7 6662
Si \(z=x+iy\) avec \(x\) et \(y\) réels, montrer ...
exo7 6740
Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.
exo7 68
Soit \(H\) une hyperbole équilatère de centre \(O\), et ...
exo7 69
Montrer que pour \(u,v \in \Cc\), on a \(|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).\) Donner ...
exo7 6960
Trouver tous les polynômes \(P\) qui vérifient la relation \[P(X^2)=P(X)P(X+1)\] ...
exo7 7
Effectuer les calculs suivants :
exo7 70
Soient \(z,z' \in \Cc\) tels que ...
exo7 71
Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan complexe, d’affixe \(z\) tels que ...
exo7 7149
Soit \(ABC\) un triangle tel que \(C\) soit l’image de ...
exo7 7166
Soit \(M_1M_2M_3M_4\) un parallélogramme direct du plan, de centre \(O\), et ...
exo7 72
Soit \(s=(1-z)(1-iz)\).
exo7 7209
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(z^2+\overline{z}-1=0\).
exo7 7210
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(4z^2+8\lvert z\rvert -3=0\).
exo7 7211
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(iz^2-2\bar{z}+2-i=0\).
exo7 73
Soit \(A\) un point du plan d’affixe \(\alpha = a+ib\). Déterminer l’ensemble des ...
exo7 74
Déterminer les nombres complexes \(z\) tels que le triangle ayant pour sommets les points d’affixes ...
exo7 75
Déterminer les nombres complexes \(z\in \Cc^{*}\) tels que les points d’affixes ...
exo7 7518
Soit \(z=a+ib\) un nombre complexe non nul. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de l’inverse de ...
exo7 7519
Soit \(z\) et \(w\) deux nombres complexes. Démontrer que ...
exo7 76
Résoudre dans \(\Cc\) le système: ...
exo7 8
Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leurs conjugués :
exo7 9
Représenter sous forme trigonométrique les nombres : ...
exo7 93
Montrer que tout nombre complexe \(z\) non réel de module \(1\) peut se mettre so ...
exo7 94
Soit \(u\), \(v\) des nombres complexes non réels tels que ...
exo7 96
Soit \(\Zz[i] = \{ a+ib \ ; \ a,b \in \Zz \}\).
exo7 97
Montrer que \(\forall z \in \Cc\) ...
exo7 98
Soit \((a, b, c, d) \in \Rr^4\) tel que \(ad-bc = 1\) et ...
exo7 99
Que dire de trois complexes \(a\), \(b\), \(c\) ...
Simplification de nombres complexes
Simplifier au maximum les expressions complexes suivantes.