Programme de mathématiques MP, MPI
Topologie des espaces vectoriels normés
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- introduire, dans le cadre des espaces vectoriels normés, le vocabulaire de la topologie ;
- donner, à travers l’étude des espaces vectoriels normés de dimension finie, un cadre commode pour traiter diverses applications à l’analyse (fonctions vectorielles, équations différentielles linéaires) ;
- introduire la notion de partie compacte dans un espace vectoriel normé, en soulignant le rôle qu’elle joue dans les résultats d’existence, notamment en matière d’optimisation ;
- introduire la notion de composante connexe par arcs d’un espace vectoriel normé, qui permet de généraliser le théorème des valeurs intermédiaires et intervient en calcul différentiel ;
- dégager l’idée fondamentale d’inégalité linéaire, qui apparaît lors de l’étude de la comparaison des normes et de la continuité des applications linéaires, et qui est quantifiée par la notion de norme d’opérateur.
Les notions seront illustrées par des exemples variés. On pourra ainsi travailler dans les espaces $\mathbb{K}^n$, les espaces de polynômes, d’applications linéaires ou de matrices, ainsi que dans divers espaces fonctionnels.
Il convient de souligner le contenu géométrique des notions abordées, notamment à l’aide de nombreuses figures. Lors de l’étude de la connexité par arcs, un dessin pertinent peut valoir preuve.
Les notions d’espace métrique et, a fortiori, d’espace topologique, sont hors programme. Il en est de même des notions de suite de Cauchy et d’espace de Banach.
Dans toute cette section, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Normes et espaces vectoriels normés 110
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 76
- c) Comparaison des normes 32
- d) Topologie d’un espace normé 111
- e) Étude locale d’une application, continuité 131
- f) Applications linéaires et multilinéaires continues 76
- g) Parties compactes d’un espace normé 41
- h) Applications continues sur une partie compacte 28
- i) Connexité par arcs 9
- j) Espaces vectoriels normés de dimension finie 45
exo7 1804
Soit \(a\in {\Rr}^{2}\) fixé ; l’application ...
exo7 1806
Montrer qu’une norme \(N\) sur \({\Rr}^{2}\) ne peut avoir des dérivées partielle ...
exo7 1837
Soit \(A\subset {\Rr}^{2},\) on définit \(\int(A)\) comme l’ensemble ...
exo7 1841
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) continue telle que : ...
exo7 1865
Pour tout \((x,y) \in \R^2\), on pose ...
exo7 1869
On considère les trois normes définies sur \(\mathbb{R}^2\) par: ...
exo7 1870
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...
exo7 1871
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...
exo7 1872
Lorsqu’un espace vectoriel \(E\) est en outre muni d’une multiplication, l’application ...
exo7 1873
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé, \(x\) un élément de ...
exo7 1874
Soient \((E,\|\cdot\|_E)\) et \((F,\|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés. ...
exo7 1875
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \([-1,1]\) à valeurs dan ...
exo7 1876
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé et \((x_n)_{n\in\N}\) une suite ...
exo7 1877
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions continues de \([-1,1]\) à valeurs dan ...
exo7 1878
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On rappelle qu’une application co ...
exo7 1879
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...
exo7 1880
\(N:(x,y)\longmapsto |5x+3y|\) est-elle une norme de \(\R^2\) ?
exo7 1881
Montrer que \(\forall p\geq 1\), l’application ...
exo7 1882
Soit ...
exo7 1883
\(A\) est dit convexe s’il contient tout segment reliant deux quelconques de ses points : ...
exo7 1884
Soit \((E,N)\) un espace vectoriel normé. Montrer : ...
exo7 1885
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, et \((a,a')\in E^2\), ...
exo7 1886
Soit \((E,N)\) une espace vectoriel. Montrer les équivalences : ...
exo7 1887
Quelles sont toutes les normes sur le \(\R\)-espace vectoriel \(\R\) ?
On ...
exo7 1888
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de classe \(C^1\) sur ...
exo7 1889
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de classe \(C^1\) sur ...
exo7 1890
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, \(A\) une partie de ...
exo7 1891
Soit \(A\) l’ensemble des fonctions continues sur \([0,1]\) telles que ...
exo7 1892
Soit \((E,\Vert \quad \Vert )\) un espace vectoriel normé sur \(\Rr\). On pose ...
exo7 1893
Soit \(\Vert \quad \Vert\) une norme sur \(\Rr ^n\) et ...
exo7 1895
On munit \(C[0,1]\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à v ...
exo7 1896
On munit \(E\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à valeur ...
exo7 1897
On munit \(E =C^1[0,1]\) et \(F=C [0,1]\) de la norme ...
exo7 1898
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1899
Soit \(A\in M_n(\Cc )\). Montrer quil existe une suite de matrices ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 1901
Soit \(x_n\) une suite de \(\Rr^d\). Montrer que l’ensemble ...
exo7 1903
Soit \(f:\Rr^d\rightarrow\Rr^d\) continue. Soit \(x_0\in\Rr^d\). Soit ...
exo7 1965
Montrer que l’intersection de deux parties convexes est convexe. Est-ce vrai pour l’union ?
exo7 1969
Trouver les parties \(C\) convexes de \({\Rr}^{2}\) telles que le complémentaire ...
exo7 2058
Soit \(\gamma :[0,1]\rightarrow \Cc\) continue, et \(z\in \Cc\) quelconque. Montr ...
exo7 2100
Calculer la limite des suites suivantes :
exo7 2212
Soit \(A\) une matrice d’ordre \((m,n)\). Démontrer les inégalités suivantes pour ...
exo7 2220
Soit \(A=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&10^{-6} \end{array}\right)\)
exo7 2221
Soit \(A\) une matrice inversible donnée.
exo7 2226
Soit \(A=LU\) la décomposition LU d’une matrice \(A\in\Rr^{n\times n}\) avec ...
exo7 2238
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices réelles d’ordre ...
exo7 2239
On considère le système \(Ax=b\) avec ...
exo7 2315
Soit \(f\) une fonction continue définie sur un intervalle borné ...
exo7 2354
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métr ...