Programme de mathématiques MP, MPI
Variables aléatoires discrètes
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Cette section généralise aux variables aléatoires discrètes l’étude menée en première année des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble fini. Cette généralisation nécessite d’introduire des notions générales de théorie des probabilités, lesquelles font l’objet d’un exposé a minima. En particulier :
- la notion de tribu, introduite pour donner un cadre rigoureux, n’appelle aucun développement théorique ;
- la construction d’espaces probabilisés n’est pas un objectif du programme ;
- les diverses notions de convergence (presque sûre, en probabilité, en loi) sont hors programme.
La théorie des familles sommables permet une extension très naturelle des notions et résultats vus en première année. Cette extension est effectuée rapidement, de manière à libérer du temps pour les exemples et exercices. L’objectif de l’enseignement est en effet de renforcer la compréhension de l’aléatoire, en lien avec d’autres parties du programme. On pourra ainsi faire travailler les étudiants sur divers objets aléatoires (permutations, graphes, matrices...) les inégalités de concentration et des exemples de processus à temps discret (marches aléatoires, chaînes de Markov...).
La notion de variable à densité est hors programme.
La notion d’espérance conditionnelle est hors programme.
- a) Ensembles dénombrables 6
- b) Espaces probabilisés 6
- c) Probabilités conditionnelles et indépendance 45
- d) Espaces probabilisés discrets 0
- e) Variables aléatoires discrètes 1
- f) Variables aléatoires indépendantes 0
- g) Lois usuelles 17
- h) Espérance d’une variable aléatoire réelle ou complexe 1
- i) Variance d’une variable aléatoire réelle, écart type et covariance 0
- j) Inégalités probabilistes et loi faible des grands nombres 1
- k) Fonctions génératrices 0
Approximation par inégalité
Soit \(X\) le nombre d’avions arrivant en une heure sur un aéroport. On suppose que ...
Calcul par approximation
L’observation a permis d’affirmer que le nombre d’étudiants qui entrent à la bibliothèque entre 9h00 et 10h30 suit une loi de Poisson de paramètre ...
Deux approximations
Une machine produit des rondelles métalliques en grande série. Une rondelle est acceptée si son diamètre extérieur est compris entre ...
Démonstration de cours sur la fonction de répartition
Soit \(F_X\) une fonction de répartition admettant un point de discontinuité en ...
exo7 235
Montrer que \(\Zz\) est dénombrable en utilisant l’application : ...
exo7 3052
Soit \((n_k)\) une suite d’entiers naturels. On dit que la suite est :
Montrer que les ensembles des suites ...
exo7 3878
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) monotone. Pour \(x \in {]a,b[}\), on pose ...
exo7 4487
\(A\) étant un ensemble infini dénombrable, les ensembles suivants sont-ils dénombrables :
exo7 5921
On dit qu’une partie \(A\) de \(\mathbb{R}\) est négligeable si, pour to ...
exo7 5987
Amédée, Barnabé, Charles tirent sur un oiseau; si les probabilités de succès sont pour Amédée : \(70\)%, Barnabé : ...
exo7 5989
La probabilité pour une population d’être atteinte d’une maladie \(A\) est \(p\) ...
exo7 5990
Dans un jeu de \(52\) cartes, on prend une carte au hasard : les événements <<tirer un roi>> et <&l ...
exo7 5991
La famille Potter comporte \(2\) enfants; les événements \(A\) : <<il y a d ...
exo7 5992
Dans la salle des profs \(60\)% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux port ...
exo7 5993
Une fête réunit \(35\) hommes, \(40\) femmes, ...
exo7 5995
Un professeur oublie fréquemment ses clés. Pour tout \(n\), on note : \(E_n\) l’é ...
exo7 5996
Dans les barres de chocolat N., on trouve des images équitablement réparties des cinq personnages du dernier Walt Disney, une image par tablette. M ...
exo7 5997
En cas de migraine trois patients sur cinq prennent de l’aspirine (ou équivalent), deux sur cinq prennent un médicament M présentant des effets sec ...
exo7 5998
Dans une population 40% des individus ont les yeux bruns, 25% des individus ont les cheveux blonds, 15% des individus ont les yeux bruns et les che ...
exo7 5999
Un constructeur aéronautique équipe ses avions trimoteurs d’un moteur central de type A et de deux moteurs, un par aile, de type B; chaque moteur t ...
exo7 6000
On sait qu’à une date donnée, 3% d’une population est atteinte d’hépatite On dispose de tests de dépistage de la maladie :
Si la pe ...
exo7 6004
Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, les probabilités de gagner ou perdre sont les mêmes; puis, on ...
exo7 6010
Dans une poste d’un petit village, on remarque qu’entre 10 heures et 11 heures, la probabilité pour que deux personnes entrent durant la même minut ...
exo7 6011
Si dans une population une personne sur cent est un centenaire, quelle est la probabilité de trouver au moins un centenaire parmi ...
exo7 6012
Un industriel doit vérifier l’état de marche de ses machines et en remplacer certaines le cas échéant. D’après des statistiques précédentes, il éva ...
exo7 6016
Des machines fabriquent des plaques de tôle destinées à être empilées; on estime à 0.1% la proportion de plaques inutilisables. L’utilisation de ce ...
exo7 6019
Pour chacune des variables aléatoires qui sont décrites ci-dessous, indiquez quelle est la loi exacte avec les paramètres éventuels (espérance, var ...
exo7 6021
On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0,05\) est fausse et sur des pièces de 2 ...
exo7 6141
Montrer que \(\Qq\) n’est pas un \(G_\delta\) c’est-à-dire n’est pas intersection ...
exo7 6890
Au loto, on choisit 6 numéros principaux, qui sont 6 nombres différents entre 1 et 49, et un numéro complémentaire, qui est un nombre entre 1 et 49 ...
exo7 6893
Les trois mousquetaires (donc quatre personnes) ont mélangé leurs bottes dans le couloir de l’auberge. D’Artagnan se lève le premier et prend deux ...
exo7 6896
Aurore arrive en retard en cours avec une probabilité \(1/2\). Elle ne va pas en cours avec une probabilité ...
exo7 6897
On a décelé dans une certaine population une probabilité de 0,01 pour qu’un enfant soit atteint par une maladie M. La probabilité qu’un enfant qui ...
exo7 6898
Les ampoules de la marque X sont fabriquées dans deux usines, A et B. 20\(\%\) des ampoules de l’usine A et 5 ...
exo7 6899
Une personne lance deux dés à 6 faces et dit qu’elle a obtenu au moins un nombre pair. Quelle est la probabilité que les deux nombres obtenus soien ...
exo7 6900
Il y a \(5\%\) de daltoniens chez les hommes et \(0,25\%\) chez les femmes. Il y ...
exo7 6901
Deux urnes sont remplies de boules. La première contient 10 boules noires et 30 boules blanches. La seconde contient 20 boules noires et 20 boules ...
exo7 6902
Soit \(n\) un entier strictement positif. Quelle est la loi du nombre de garçons dans une famille de ...
exo7 6907
Un standard téléphonique reçoit en moyenne 2 appels par minute. Les appels sont répartis au hasard dans le temps.
exo7 6912
Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \(Z=(X,Y)\), avec ...
exo7 6913
Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\), avec ...
exo7 6914
Charles ne supporte pas les chats et Sophie déteste les chiens. Charles n’élève pas plus d’un chien et Sophie pas plus d’un chat. La probabilité po ...
exo7 6915
Dans une pile de \(n\) (\(n \geq 2\)) feuilles dactylographiées, se trouvent les ...
exo7 6919
Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\), avec ...
exo7 6932
On effectue un sondage sur un échantillon de 10 000 personnes à la veille d’un référendum : 4903 d’entre elles s’apprêtent à voter oui, et 5097 à v ...
exo7 6937
A la suite de la formulation des lois de Mendel, Bateson a effectué des croisements avec des pois de senteur afin d ...
exo7 6942
Soient \(A\) et \(B\) deux événements indépendants. Montrer que ...
exo7 6944
Soit \((X_n)_{n\geq 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre ...
exo7 6945
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\).
exo7 6946
Soit \(N\) et \((X_n)_{n\geq 1}\) des variables aléatoires indépendantes intégrab ...