Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie
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Cette section « boîte à outils » complète l’enseignement du lycée sur un certain nombre de points importants pour la suite :
- calculs de sommes et de produits, dont la formule du binôme ;
- résolution de petits systèmes linéaires par l’algorithme du pivot ;
- manipulation d’inégalités et résolution d’inéquations ;
- utilisation du cercle trigonométrique, manipulation des lignes et fonctions trigonométriques.
- a) Sommes et produits 139
- b) Résolution de petits systèmes linéaires par la méthode du pivot 59
- c) Inégalités 111
- d) Trigonométrie 175
Bornes d'ensembles de réels
Pour chacune des parties de \(\R\) suivantes, déterminer, s’ils existent, le minimum, maximum, borne inférieure et ...
Calcul de limite en l'origine par coordonnées polaires
Soit la fonction \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Convolution 2D à la main — mode valid
On considère l’image \(I\) et le noyau \(K\) suivants : ...
Des calculs
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Calculer les sommes suivantes :
...
Des factorisations sympathiques
Soient \(x\) et \(y\) deux réels.
Des inégalités
Soient \(x\) et \(y\) deux réels.
Des inégalités en tout genre
Résoudre les inégalités suivantes :
Des polynômes
Existe-t-il un polynôme \(P\in \R_3[X]\) vérifiant \(P(1)=P(-1)=P'(1)=1\) ? ...
Des produits
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Calculer les produits suivants : ...
Des sommes combinatoires plus difficiles
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Calculer les sommes suivantes : ...
Des sommes doubles
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Déterminer les sommes suivantes :
Des sommes plus compliquées
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Calculer les sommes suivantes : ...
Décomposition en éléments simples
Montrer qu’il existe des réels \(a, b\) et \(c\) tels que, pour tout ...
exo7 1004
Soit ...
exo7 1061
Soit \(A(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\) ...
exo7 1071
Soit \(M=\left( a_{i,j}\right) _{(i,j)\in \{1,...,n\}^{2}}\in M_{n}({\Rr}),\) montrer : ...
exo7 1122
Calculer ...
exo7 1126
Montrer que ...
exo7 1163
Résoudre les systèmes suivants ...
exo7 1171
Mettre sous forme matricielle et résoudre les systèmes suivants.
exo7 1176
Déterminer le noyau de la matrice \(\begin{pmatrix} 1&-1&1\\0&1&1\\2&3&7 \end{pmatrix}\) ...
exo7 1178
Trouver les solutions de ...
exo7 1182
Résoudre \(\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2x + b^2y + c^2z = d^2 \end{cases}\).
exo7 1193
Soient \((u_n)_{n\geq 2}\) définie par ...
exo7 1264
Montrer que, pour tout \(x\) réel vérifiant \(\vert x \vert \leq 1\) : ...
exo7 135
On définit les cinq ensembles suivants : ...
exo7 1463
Soit \(E = \Rr_{n}[X]\). Montrer que ...
exo7 1465
Soient \(a_{1}, \ldots, a_{n},b_{1}, \ldots, b_{n}, c_{1}, \ldots, c_{n}\) des
réels positifs.
Montrer que ...
exo7 153
Montrer :
exo7 156
Dans le plan, on considère trois droites \(\Delta_{1},\Delta_{2},\Delta_{3}\) formant un “vrai” triangle : elles n ...
exo7 158
Montrer que \[\forall n\geq 2,n!\leq \left( \frac{n+1}{2}\right) ^{n}.\]
exo7 159
Pour tout entier naturel \(n\), on pose ...
exo7 170
Démontrer par récurrence: \[\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\]
exo7 171
Montrer que pour tout entier \(n\geq 1\): ...
exo7 172
Démontrer, en le déterminant qu’il existe un entier \(n_0\) tel que ...
exo7 173
Démontrer par récurrence sur \(n\) que pour tout \(n\geq 2\) l’implication ...
exo7 1731
Soient \(p\) et \(q \in ]0, + \infty[\) tels que ...
exo7 1736
Montrer que : ...
exo7 174
Soit \(n\in\mathbb{N}\); montrer que pour tout entier \(k\geq 1\) on a ...
exo7 175
Montrer par récurrence que pour tout entier \(n\in\mathbb{N}\), ...
exo7 176
On définit une suite \((F_n)\) de la façon suivante : ...
exo7 177
Montrer que : \[2\cos \frac{\pi}{2^n} = \sqrt{2+\sqrt{2+\ldots\sqrt{2}}}.\]
exo7 178
Pour \(n \in \mathbb{N},\) \(n \geq 2,\) trouver une loi simplifiant le produit : ...
exo7 179
Pour \(n \in \mathbb{N},\) soient \(a_0,\ldots,a_n\) des nombres réels de même si ...
exo7 180
Quels sont les entiers \(n\) \(\)tels que ...
exo7 181
Montrer que : \[\forall n\geq 2,u_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\notin \Nn.\] Indication : montrer ...
exo7 183
Pour \(p \in \left\{ 1, 2, 3\right\}\) on note ...
exo7 184
Pour calculer des sommes portant sur deux indices, on a intérêt à représenter la zone du plan couverte par ces indices et à sommer en ...
exo7 1840
Existe-t-il un triangle d’aire maximale inscrit dans un cercle donné? Le déterminer par une méthode géométrique.
exo7 1864
Montrer que : ...