Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
a) Ensembles de nombres usuels
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Entiers naturels, relatifs, nombres décimaux, rationnels, réels, irrationnels. | Les constructions des ensembles de nombres usuels (et en particulier celle de $\mathbb{R}$) sont hors programme. |
Approximations décimales d’un réel. | Valeurs décimales approchées à la précision $10^{-n}$ par défaut et par excès. |
Tout intervalle ouvert non vide rencontre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Droite achevée $\overline{\mathbb{R}}$. |
$\N^*$, $\Z$, $\N^2$ et $\Q$ sont dénombrables
On dit qu’un ensemble \(A\) est dénombrable s’il est en bijection avec u ...
Division euclidienne dans $\Z$
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs, tels que ...
exo7 1200
Pour tout \(n \in { \Nn}^*\) on note ...
exo7 1437
Soit \(G\) le groupe \(\Qq/\Zz\). Si \(q\in\Q\), ...
exo7 148
Montrer que \(\sqrt{2} \notin \Qq\).
exo7 1755
On se propose de montrer que tout ouvert de \(\R\) est une réunion d’intervalles ouverts disjoints. On considère d ...
exo7 1777
Dans l’espace vectoriel normé \(\R\), chacune des parties suivantes est-elle ouverte ? fermée ?
...
exo7 1887
Quelles sont toutes les normes sur le \(\R\)-espace vectoriel \(\R\) ?
On ...
exo7 222
En utilisant la formule du binôme, démontrer que :
exo7 2279
Soient \(P\in \Zz[x]\), \(n\in \Nn\), \(m=P(n)\) ...
exo7 249
Combien \(15!\) admet-il de diviseurs ?
exo7 251
Sachant que l’on a \(96842=256\times 375 + 842\), déterminer, sans faire la division, le reste de la division du n ...
exo7 252
Soient \(m\ge 1\) et \(n\ge 2\) des entiers ; montrer que :
exo7 253
Soit \(a\) un entier relatif quelconque, démontrer que le nombre \(a(a^2-1)\) et, ...
exo7 255
Quel est le plus petit entier naturel qui, divisé par \(8,15,18\) et \(24\), donn ...
exo7 256
Montrer que si \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels tels que ...
exo7 257
Montrer que \(\forall n\in \Nn\) : ...
exo7 260
Le diviseur d’une division est égal à \(45\) ; le reste est le carré du quotient. Calculer le dividende entier nat ...
exo7 261
Trouver le plus petit entier naturel \(n\) telle que le développement décimal de ...
exo7 263
On définit les trois ensembles suivants : ...
exo7 265
Soit \(n\) un entier relatif. Montrer que soit \(8\) divise ...
exo7 266
Étant donnés deux nombres relatifs \(n\) et \(p\) montrer que soit ...
exo7 267
Montrer que si \(n\) est un entier naturel somme de deux carrés d’entiers alors le reste de la division euclidienn ...
exo7 268
Soit \(n\) un entier naturel dont le reste de la division euclidienne par 5 vaut ...
exo7 269
Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Montrer que parmi les trois entiers \(n.(n+1)\), ...
exo7 270
Pour tout couple de nombres réels \((x,y)\) montrer, par récurrence, que pour tout ...
exo7 276
Trouver les entiers positifs \(n\) tels que \(n-1\) divise ...
exo7 277
Montrer que pour chaque \(n \in \mathbb{N}\), \(4\) ne divise pas ...
exo7 282
Déterminer les entiers \(n \in \Nn\) tels que :
exo7 283
Soit \(k \in \Zz\). Déterminer les entiers \(n \in \Nn^*\) tels que ...
exo7 284
Montrer que \(\forall (a, b) \in \Nn \times \Nn^*\) il existe un unique ...
exo7 285
Montrer que le reste de la division euclidienne par \(8\) du carré de tout nombre impair est ...
exo7 286
Montrer qu’il est équivalent dans \(\mathbb{Z}\) de dire \(m\) divise ...
exo7 290
Calculer le pgcd des nombres suivants :
exo7 291
Calculer le ppcm des nombres : 108 et 144 ; 128 et 230 ; 6, 16 et 50.
exo7 292
Déterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De même avec pgcd 18 et produit 6480.
exo7 295
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers tels que ...
exo7 296
Calculer par l’algorithme d’Euclide : \(\pgcd(18480,9828)\). En déduire une écriture de ...
exo7 297
Déterminer le pgcd de \(99\,099\) et \(43\,928\). Déterminer le pgcd de ...
exo7 299
Calculer, en précisant la méthode suivie, \[a=\text{pgcd} (720,252) \quad\quad b = \text{ppcm} (720,252)\] ainsi ...
exo7 301
Démontrer pour \(m,n \in \Nn^*\) : ...
exo7 302
Déteminer deux entiers naturels connaissant leur somme, \(1008\), et leur pgcd, ...
exo7 303
Notons \(a=1\;111\;111\;111\) et \(b=123\;456\;789\).
exo7 304
Soient \(m\) et \(n\) deux entiers ...
exo7 306
Montrer qu’il n’existe pas d’entiers \(m\) et \(n\) tels que ...
exo7 3061
Soit \(f : \R \to \R\) un morphisme de corps.
exo7 3063
Soir \(A\) un sous-anneau de \(\R\). Montrer que ...
exo7 3064
Soit \(H\) un sous-groupe additif de \(\R\), ...
exo7 3066
Soit \(a \in \Q^+\) tel que \(\sqrt a \notin \Q\).
Montrer qu’il existe ...
exo7 3067
Soient \(a,b \in \Q^+\) tels que \(\sqrt b \notin \Q^+\). Montrer qu’il existe ...