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Établir les égalités suivantes :

Étudier la suite \((z_{n})_{n\in \Nn}\) définie par: \(z_{0}=4,\) ...

Calculer le module et l’argument de \(u = \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\) et ...

Écrire sous la forme partie réelle-partie imaginaire, puis sous la forme module-argument le nombre complexe : ...

Déterminer le module et l’argument des nombres complexes : ...

Déterminer le module et l’argument de \(\frac{1+i}{1-i}\). Calculer ...

Calculer \(Z=(1+i\sqrt 3)^{2000}\).

Calculer \((1+i\sqrt{3})^5 + (1-i\sqrt{3})^5\) et ...

Calculer le module et l’argument de \(z = \frac{1}{1+i\tan \alpha}\).

Calculer les puissances \(n\)-ièmes des nombres complexes : ...

Comment choisir l’entier naturel \(n\) pour que \((\sqrt{3}+i)^n\) soit un réel ? ...

Écrire les nombres complexes suivants sous la forme \(a+ib\) (\(a,b \in \Rr\)) : ...

Soit \(\mathcal{E} = \left\{ M (z)/2\left| z\right|^2-\frac i2 (z^2-\bar{z}^2) = 1\right\}\), ...

Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels. Mettre le nombre complexe ...

Écrire l’expression \((1+\cos \phi+i\sin \phi)\) sous forme trigonométrique. En déduire l’expression de ...

Calculer le module et l’argument de \((1+i)^n\). En déduire les valeurs de ...

Mettre sous forme trigonométrique \(1 + e^{i\theta}\) où ...

Résoudre l’équation \(\exp (z) = \sqrt{3} + 3i\).

Calculer les racines carrées de \(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\). En déduire les valeurs de ...

Écrire sous la forme \(a+ib\) les nombres complexes suivants :

Pour \(\alpha\in\Rr\), résoudre dans \(\Cc\) l’équation ...

Résoudre les équations suivantes :

Placer dans le plan cartésien, les points d’affixes suivantes : ...

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation suivante : ...

Trouver les racines cubiques de \(2-2i\) et de \(11+2i\).

Calculer \(\frac{\frac{1+i\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2(1+i)}{2}}\) algébriquement, puis trigonométriquement. En déduir ...

Soit \(z\in\C\). Montrer que \(\left(1+\frac zn\right)^n \to e^z\) lorsque ...

Trouver les racines quatrièmes de \(81\) et de \(-81\).

Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...

Résoudre dans \(\Cc\) :

Calculer de deux façons les racines carrées de \(1+i\) et en déduire les valeurs exactes de ...

On note \(U\) l’ensemble des nombres complexes de module \(1\). Montrer que :

Forme trigonométrique de \(\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}\) et de ...

Calculer \((1+i\sqrt{3})^9\).

Déterminer les racines quatrièmes de \(i\) et les racines sixièmes de ...

Montrer que \(\sum_{k=0}^{n-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})= n(n-1)\). (Indication. Poser ...

Résoudre les équations suivantes : ...

Résoudre \(z^6 +27 =0\). (\(z \in \Cc\))

Déterminer l’image du cercle trigonométrique par la fonction ...

Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(27 (z-1)^6 + (z + 1)^6 = 0\).

Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : ...

Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe, où \(x=\Re z\) et ...

Effectuer les calculs suivants :

Soient \(z,z' \in \Cc\) tels que ...

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u, \vec v)\). On note ...

(Coordonnées polaires) Soit \(\sim\) la relation d’équivalence la plus fine sur ...

Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sqrt{3} \cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2}\).

Soit \(\theta\) et \(\theta'\) deux nombres réels. En utilisant les formules ...

On rappelle la formule (\(\theta\in\mathbb{R}\)) : ...

Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leurs conjugués :