Programme de mathématiques MP, MPI
f) Optimisation : étude au premier ordre
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Point critique d’une application différentiable. | |
Condition nécessaire d’existence d’un extremum local en un point intérieur. | Exemples de recherches d’extremums globaux. |
Si $f$ est une fonction numérique définie sur l’ouvert $\Omega$, si $X$ est une partie de $\Omega$, si la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $x$ et si $f$ est différentiable en $x$, alors $\mathrm{d}f(x)$ s’annule en tout vecteur tangent à $X$ en $x$. | |
Théorème d’optimisation sous une contrainte : si $f$ et $g$ sont des fonctions numériques définies et de classe $\mathscr{C}^1$ sur l’ouvert $\Omega$ de $E$, si $X$ est l’ensemble des zéros de $g$, si $x\in X$ et $\mathrm{d}g(x)\neq0$ et si la restriction de $f$ à $X$ admet un extremum local en $x$, alors $\mathrm{d}f(x)$ est colinéaire à $\mathrm{d}g(x)$. | Si $E$ est euclidien, traduction en termes de gradient. Exemples de recherches d’extremums sous contrainte. |
Ajuster une droite en pénalisant sa pente
On veut ajuster le modèle \(\widehat y=ax+b\) aux deux observations \((0,0)\) et ...
Etude d'une fonction
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathcal{D} \subset \R^2\) par ...
exo7 1823
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R^2\) par ...
exo7 1825
Pour chacune des fonctions suivantes etudiez la nature du point critique donné :
exo7 1826
Trouvez les points critiques des fonctions suivantes et déterminez si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle.
exo7 1827
Soit \(f:\R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par \(f(x,y)=x^3-3x(1+y^2)\). ...
exo7 1828
Trouver le point du plan \((2x-y + z = 16)\) le plus proche de l’origine.
exo7 1829
Déterminer les extremums de \(f (x, y) = xy (1-x^{2}-y{2})\) sur \([0, 1]^{2}\). ...
exo7 1830
Soit \(f (x, y) = x^{2} + xy + y^{2}-3x-6y\). Montrer que \(f\) admet au plus un ...
exo7 1831
Déterminer un triangle d’aire maximale inscrit dans un cercle donné.
exo7 1832
Soit \(f (x, y) = (x^{2}-y) (3x^{2}-y)\).
Montrer que \(f\) admet un minim ...
exo7 1833
Soit \({f}: {\Rr^{2}} \to {\Rr}\), \({ (x, y)}\mapsto {xe^{y} + ye^{x}}\).
...
exo7 1834
Déterminer les extrémums de \(f:(x,y,z)\rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz.\)
exo7 1836
Si \(f\) est concave sur un ouvert convexe \(U\subset {\Rr}^{2}\) et si : ...
exo7 1838
Chercher les extrémums sur \({\Rr}^{2}\) des applications : ...
exo7 1839
Soit \(f\) une fonction réelle de classe \({\cal C}^2\) sur un ouvert ...
exo7 1842
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application \((x,y) \mapsto 6xy+(y-x)^3.\) ...
exo7 2507
Soit \(f\) une application différentiable de \(\Rr^2\) dans lui-même, propre (i.e ...
exo7 2554
Etudier les extrémas locaux et globaux des fonctions suivantes:
exo7 2642
Trouver les points critiques de la fonction \(f\) suivante et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima ...
exo7 2643
Soit \(f\) une fonction réelle d’une variable réelle de classe \({\rm C}^2\) dans ...
exo7 2654
On considère la fonction \[f(x,y)=(1+2\cos^2(\pi x))(1-\exp(-y^2))+\sin(\pi x).\] Son graphe est reproduit dans l ...
exo7 2684
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\R_+^n\) par ...
exo7 4182
On pose pour \((x,y)\in\R^2\) : ...
exo7 4185
Soit \(\Omega\) un ouvert borné de \(\R^2\) et ...
exo7 4191
Chercher les extrémums des fonctions \(f(x,y)\) suivantes :
exo7 4192
Soit \(A \in \R^p\) fixé et \(f : {\R^p} \to \R, M \mapsto {AM^2}\) ...
exo7 4193
Soit \(ABC\) un triangle de cotés \(a,b,c\).
exo7 4195
Soient dans \(\R^2\) : \(A=(0,a)\), \(B=(b,-c)\) ...
exo7 4197
\(D_1\), \(D_2\), \(D_3\) sont trois droites d’u ...
exo7 4199
Déterminer le plus court chemin entre les pôles nord et sud d’une sphère en dimension ...
exo7 4200
Soit \(B\) la boule unité de \(\R^{n}\), ...
exo7 4908
Soit \(\cal P\) une parabole de paramètre \(p\) et ...
exo7 5558
Trouver les extrema locaux de
exo7 5559
Maximum du produit des distances aux cotés d’un triangle \(ABC\) du plan d’un point ...
exo7 5894
Extremums des fonctions suivantes :
exo7 5902
Maximum du produit des distances d’un point \(M\) intérieur à un triangle \(ABC\) ...
exo7 6306
Déterminer les extremums (locaux et/ou globaux) de:
exo7 6307
Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel \(\lambda\), la nature des extremums de la fonction ...
exo7 6308
Soit \(f: (t,x,y) \in \Rr^3 \mapsto f(t,x,y) \in \Rr\) une application de classe ...
exo7 6309
Soit \(g(x,y,z)=xyz -32\), \({\cal S} =\{(x,y,z)\in \Rr^3 \; ;\; g(x,y,z) =0 \}\) ...
exo7 6310
Déterminer le point \(p\) du plan \(\Sigma = \{(x,y,x+y) \; ; \; x,y\in \Rr\}\) q ...
exo7 6311
Déterminer les extremums de la fonction \(f(x,y) =xy\) sur le cercle unité ...
exo7 6312
Déterminer le minimum et maximum de la fonction \(f(x,y,z) = 5x+y-3z\) sur l’intersection du plan ...
exo7 6313
Déterminer les extremums de la fonction \(f(x,y,z) = 2x+3y+2z\) sur l’intersection du plan d’équation ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Extremum d'un polynôme
Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : ...
Optimisation avec contrainte
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Optimisation d'une fonction d'efficacité sur un disque fermé
Dans une zone militaire, l’efficacité de détection d’un radar est modélisée par la fonction : ...
Optimisation simple
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...