Programme de mathématiques MP, MPI
e) Étude locale d’une application, continuité
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Limite en un point adhérent à une partie $A$. Caractérisation séquentielle. | Extensions : limite de $f(x)$ lorsque $\lVert x\rVert$ tend vers $+\infty$, limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ lorsque $A$ est une partie de $\mathbb{R}$, limite infinie en $a$ adhérent à $A$ pour une fonction réelle. |
Cas d’une application à valeurs dans un produit fini d’espaces vectoriels normés. Opérations algébriques sur les limites. Limite d’une composée. Continuité en un point. Caractérisation séquentielle. | |
Opérations algébriques sur les applications continues. Composition de deux applications continues. | Deux applications continues qui coïncident sur une partie dense sont égales. |
Image réciproque d’un ouvert, d’un fermé par une application continue. | |
Applications uniformément continues, applications lipschitziennes. | Caractère 1-lipschitzien de l’application $x\mapsto d(x,A)$ où $A$ est une partie non vide de $E$. |
exo7 6120
Montrer que la boule unité ouverte de \({\Rr}^n\) est homéomorphe à \({\Rr}^n\) t ...
exo7 6122
Soit \(F\) l’application de \({\Rr}^+\) dans ...
exo7 6132
Soit \(F\) un fermé de \(\Rr\), et \(f\) une app ...
exo7 6163
Soit \(f\) une application continue de \([a,b]\) dans ...
exo7 6184
Soit \(f\) une surjection continue de \(\Rr^2\) sur ...
exo7 6190
On considère une suite \((x_n)\) de \([0,1]\) telle que ...
exo7 6191
On note \({\mathbb{S}^1}\) le cercle unité dans \({\Rr}^2\), et ...
exo7 6195
Soit \(E\) un espace normé, \(X\) et \(Y\) deux ...
exo7 6197
Trouver l’ensemble des valeurs d’adhérence quand \(x\to 0\) de ...
exo7 6200
Soit \(E=C_b(\Rr)\) muni de la norme uniforme; pour \(f\in E\), on note ...
exo7 6207
Soit \(K\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 6239
On désigne par \(E\) l’espace \(C([0,1])\) muni de la norme uniforme et l’opérate ...
exo7 6240
On considère \(T:C([0,1])\to C([0,1])\) qui à \(f\) associe ...
exo7 6333
Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), ...
exo7 6402
Montrer que \(3\) points \(x, y\) et \(z\) sont ...
exo7 651
Donner un exemple de fonction continue sur \([0,1]\) non lipschitzienne, puis de fonction continue en un seul poin ...
exo7 665
Soit \(f\) continue sur \([a,b]\), montrer : ...
exo7 6739
Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...
exo7 6775
(D’abord un cas particulier) Dans \(\Rr^3\) on considère les objets suivants : le demi-espace ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
exo7 6805
Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr^2\) définie par \(f(x,y) = (x^2-y, x^2 + y^2)\). On défini ...
exo7 6823
Soit \(Y:\Rr^2 \to \Rr^2\) le champ de vecteurs \(Y(x,y) = (1,1+y^2)\).
exo7 6883
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) un fermé non vide de ...
exo7 697
\(f:[a,b]\rightarrow {\Rr}\) est à variation bornée si et seulement si : ...
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Limite d'une Fonction
On considère la fonction définie par \(f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}\). De plus on considère la suite de termes géné ...
Limite d'une fonction définie sur $\R^2$
Soit \(f \colon \R^2 \to \R\), ...
Limite et continuité
Soit la fonction \(g \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Limite et continuité d'une fonction définie sur $\R^2$
Étudier l’existence et le cas échéant, calculer \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\]
Recherche d'extremum d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application ...
Étude d'une fonction de deux variables
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...