Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
b) Sous-espaces vectoriels
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Sous-espace vectoriel : définition, caractérisation. | Sous-espace nul. Droite vectorielle. Plan vectoriel de $\mathbb{R}^3$. Sous-espace $\mathbb{K}_n[X]$ de $\mathbb{K}[X]$. |
Intersection d’une famille de sous-espaces vectoriels. | Ensemble des solutions d’un système linéaire homogène. |
Sous-espace vectoriel engendré par une partie $A$. | Notations $\operatorname{Vect}(A)$, $\operatorname{Vect}(x_i)_{i\in I}$. Tout sous-espace vectoriel contenant $A$ contient $\operatorname{Vect}(A)$. |
exo7 5177
Soient \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5178
Soient \(u=(1,1,...,1)\) et \(F=\mbox{Vect}(u)\) puis ...
exo7 5265
Soient \(I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\) et ...
exo7 5563
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels ...
exo7 6869
Décrire les sous-espaces vectoriels de \(\Rr\) ; puis de \(\Rr^2\) et ...
exo7 6870
Soient \(v_1=(2,1,4)\), \(v_2=(1,-1,2)\) et ...
exo7 6871
Par des considérations géométriques répondez aux questions suivantes :
exo7 7414
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de classe \(\mathcal C^1\) de ...
exo7 7442
On suppose que \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels de ...
exo7 886
Déterminer lesquels des ensembles \(E_1\), \(E_2\), ...
exo7 888
Parmi les ensembles suivants reconnaı̂tre ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.
...
exo7 889
Parmi les ensembles suivants, reconnaı̂tre ceux qui sont des sous-espaces
vectoriels :
...
exo7 891
Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :
exo7 892
Montrer que l’ensemble ...
exo7 893
Soit \(E\) un espace vectoriel.
exo7 895
Montrer que \(\left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 /x + y + z = 0 \text{ et } 2x-y + 3z = 0\right\}\) est un sous-espace ve ...
exo7 896
Montrer que \[F=\{f\in C(\Rr,\Rr)|\exists (A,\phi )\in \Rr^{2},\forall x\in \Rr,f(x)=A\cos (x+\phi )\}\] est un e ...
exo7 900
Soient dans \(\Rr^4\) les vecteurs \(v_1=(1,2,3,4)\) et ...
exo7 901
Dans \(\Rr^4\) on considère l’ensemble \(E\) des vecteurs ...
exo7 903
Dans l’espace \(\mathbb{R}^4\), on se donne cinq vecteurs : \(V_1=(1,1,1,1)\), ...
exo7 904
Soient les vecteurs \(e_1=(1,2,3,4)\), \(e_2=(1,-2,3,-4)\) de ...
exo7 906
Dans \(\mathbb{R}^4\), comparer les sous-espaces \(F\) et ...
exo7 908
Soit \(E\) le sous-espace vectoriel de \({\Rr}^3\) engendré par les vecteurs ...
exo7 909
Prouver que dans \({ \Rr}^{3}\), les vecteurs \(u_{1}=(2,3,-1)\) et ...
exo7 914
Peut-on déterminer des réels \(x, y\) pour que le vecteur \(v=(-2,x,y,3)\) appart ...
exo7 920
On considère les vecteurs \(v_1=(1,0,0,1)\), \(v_2=(0,0,1,0)\), ...
exo7 921
Si \(L,M,N\) sont trois sous-espaces vectoriels de \(E\), a-t-on : ...
exo7 923
Soit \(E = \Delta^1 (\Rr, \Rr)\) l’espace des fonctions dérivables et ...
exo7 950
Soit \(U\) un sous-espace vectoriel de \(E\) espace vectoriel, et ...
exo7 966
Soient \(U\) et \(V\) deux ensembles non vides et ...
exo7 983
Dans l’espace \(\mathcal{P}_5\) des polynômes de degré \(\leq 5\), on définit les ...
exo7 984
Dans \(\mathbb{R}^4\) on considère l’ensemble \(E\) des vecteurs ...
exo7 987
Dans \(\mathbb{R}^3\), les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace qu’ils engendrent ...
exo7 988
Dans \(\mathbb{R}^3\), comparer les sous-espaces \(F\) et ...
exo7 990
Si \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) et ...
exo7 997
Soit \((\Sigma )\) le système d’équations linéaires : ...
Sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^4$
On se place dans \(\mathbb{R}^4\). On considère ...
Vrai/Faux sur les espaces vectoriels
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.