Texte officiel du programme
L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et de les exploiter pour la résolution de problèmes portant sur les équations algébriques et les fonctions numériques.
On présente la décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles, uniquement dans des situations simples. L’objectif est de présenter aux étudiants un outil qui leur permette de mener à bien des calculs d’intégration, de dérivation, de somme, etc.
Le programme se limite aux polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ où $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Ensemble des polynômes à une indéterminée 94
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 81
- f) Décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles 70
exo7 3511
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {(X-a)P'.}\) Chercher les v ...
exo7 3515
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1) - P'.}\) ...
exo7 3528
On considère le polynôme défini par : \(\forall\ n \in \N,\ P_n(x) = x^n - \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_ix^i\) avec ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 3531
Soit \(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \R\) et ...
exo7 3544
Soit ...
exo7 3552
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 + A^2 + A = 0\). Montrer que ...
exo7 356
Effectuer la division euclidienne du polynôme \(P=X^5-X^4+2X^3+X^2 +4\) par ...
exo7 3563
Caractériser les polynômes \(P\) tels que : \(\forall\ A\in\mathcal{M}_n(\C)\), ...
exo7 3565
Le polynôme \(X^{4}+X^{3}+2X^{2}+X+1\) peut-il être le polynôme minimal d’u ...
exo7 357
Soit \(P\) un polynôme. Sachant que le reste de la division euclidienne de \(P\) ...
exo7 3572
Soient \(u,v\) deux endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) non nul tels que ...
exo7 3577
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) semblables sur \(\C\) : Il existe ...
exo7 358
Calculer le reste de la division euclidienne du polynôme
\(X^n+X+1\) par le polynôme ...
exo7 3586
Soit \(A \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) ayant pour valeurs propres \(1,-2,2\), et ...
exo7 359
Pour quelles valeurs de \(m\) le polynôme \(P=(X+1)^m -X^m-1\) est-il divisible p ...
exo7 3597
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 36
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :
exo7 360
Montrer que le polynôme \(P(X)-X\) divise le polynôme \(P(P(X))-X\).
exo7 3601
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) et ...
exo7 361
Déterminer \(a,b \in \Zz\) de façon à ce que le polynôme \(aX^{n+1}-bX^n+1\) soi ...
exo7 3611
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 362
Existe-t-il un polynôme \(P\) de degré 7 tel que \((X-1)^4\) divise ...
exo7 3629
Soit \(E = \R_{2n-1}[X]\), et \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. On note : ...
exo7 3630
Soit \(E = \R_3[X]\). On considère les formes linéaires : ...
exo7 3632
Soit \(E = K_n[X]\). On note \(P_0 = 1\), ...
exo7 3635
Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...
exo7 3636
Soit \(E = K_n[X]\). Soit \(\varphi \in E^*\) telle que : ...
exo7 364
Effectuer les divisions euclidiennes de
\(3X^5+4X^2+1 \ \text{ par }\ X^2+2X+3\),
...
exo7 365
Dans \(\Cc[X]\), effectuer les divisions euclidiennes de
...
exo7 3652
Soit \(E = K_3[X]\), \(F = \{ P \in E\) tq ...
exo7 367
Soit \(a\) et \(b\) deux nombres complexes distincts, ...
exo7 368
Pour \(n\in\mathbb{N}\), quel est le reste de la division de \(X^n+X+b\) par ...
exo7 369
Pour \(n\in \mathbb{N}\), montrer que le polynôme \((X-1)^{n+2}+X^{2n+1}\) est di ...
exo7 370
Chercher tous les polynômes \(P\) tels que \(P+1\) soit divisible par ...
exo7 372
Déterminer \(a\) et \(b\) dans \(\Rr\) tels que ...
exo7 373
Déterminer le reste de la division euclidienne de \((\sin a X + \cos a)^n\) par ...
exo7 374
Soit \(P\) un polynôme dont le reste de la division euclidienne par \(X-1\) est ...
exo7 375
Effectuer la division euclidienne de \(X^5-7X^4-X^2-9X + 9\) par \(X^2-5X + 4\). ...
exo7 376
Soit \(n \geq 1\). Déterminer le reste de la division euclidienne de ...
exo7 377
Soient \(P,Q\in K[X]\) tels que \(X^2+X+1\) divise ...
exo7 378
Quels sont les polynômes \(P\in\Cc[X]\) tels que \(P'\) divise ...
exo7 379
Calculer pgcd\((P,Q)\) lorsque :
exo7 38
Pour \(\alpha\in\Rr\), résoudre dans \(\Cc\) l’équation ...
exo7 382
Montrer qu’il existe deux polynômes : \(U, V\), vérifiant : ...
exo7 3828
Soit \(\varphi : {\R^n} \to \R\) définie par ...
exo7 3829
Soit \((P_n)_{n\in \N}\) une suite de polynômes de degrés étagés ( ...
exo7 3835
Montrer qu’il existe des polynômes \(P_0,\dots,P_n \in \R_n[X]\) tels que : ...
exo7 384
Soit \(n\) un entier positif.
exo7 386
Trouver tous les polynômes \(U\) et \(V\) de ...