Texte officiel du programme
Cette section, qui a vocation à interagir avec l’ensemble du programme, a pour objectif de donner aux étudiants une bonne pratique des variables aléatoires dans le cadre fini.
Pour enrichir la pratique de la modélisation probabiliste développée au lycée, on met en évidence qu’une situation probabiliste finie peut être décrite par un $n$-uplet de variables aléatoires, l’univers étant vu dans cette optique comme une source suffisante d’aléa. L’objectif de cette présentation est de pouvoir travailler le plus tôt possible avec des événements construits en termes de variables aléatoires. La construction d’un univers fini susceptible de porter un $n$-uplet de variables aléatoires peut être présentée, mais ne constitue pas un objectif du programme.
Les exemples et activités proposés sont de nature plus conceptuelle qu’au lycée. On pourra faire travailler les étudiants sur des marches aléatoires ou des chaînes de Markov en temps fini, des graphes aléatoires, des inégalités de concentration...
Le programme de probabilités de première année s’achève sur une approche non asymptotique de la loi faible des grands nombres qui justifie l’approche fréquentiste des probabilités.
Analyse de covariance et moments d'une loi normale
On considère deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(U\) indépendantes, ...
Application du théorème central limite
\(\mathcal N(\mu,\sigma)\) désigne la loi normale de moyenne \(\mu\) et d’écart-t ...
Approximation par inégalité
Soit \(X\) le nombre d’avions arrivant en une heure sur un aéroport. On suppose que ...
Approximation par une loi normale
On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0.05\) est fausse et sur des pièces de d ...
Assurance vie, loi du nombre de décès et bénéfice annuel
Une compagnie assure \(N=10\,000\) clients sur la vie, qui paient chacun une prime annuelle de ...
Calcul approché de probabilité et loi normale
Une machine fabrique des lames de carton empilées par paquets de 36. On suppose que chaque lame a une épaisseur ...
Calcul approché de probabilités
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle telle que \(\E(X) = 30\) et ...
Calcul de la fonction softmax et perte entropie croisée
Un réseau multiclasse produit les scores bruts \(z = [3,\ 1,\ 0]\) pour 3 classes. On rappelle que ...
Calcul de probabilité
On jette 3 fois un dé à 6 faces, et on note \(a, b\) et \(c\) les résultats succe ...
Calcul de probabilité
On jette un dé à 6 faces et on observe le résultat.
Calcul de probabilité
On jette un dé à 6 faces et on observe le résultat.
Calcul de risques
On suppose que le poids d’un adulte peut être modélisé par une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi normale d ...
Calcul par approximation
Un fournisseur d’accès internet met en place un point local d’accès qui dessert \(5\,000\) abonnés. À un instant d ...
Calculs de lois
Soient \(\left(X_i\right)_{1 \leq i \leq 9}\) des variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, s ...
Contrôle de qualité sur des pièces d'un euro
On effectue un contrôle sur des pièces d’un euro dont une proportion \(p = 0{,}05\) est fausse. On considère un lo ...
Couple de variables
Deux urnes \(U_1\) et \(U_2\) contiennent des boules permettant des gains ou des ...
Deux approximations
Une machine produit des rondelles métalliques en grande série. Une rondelle est acceptée si son diamètre extérieur est compris entre ...
Dilemme
On considère deux avions \(A\) et \(B\) ayant respectivement 4 et 2 moteurs. Les ...
Double jeu et probabilités discrètes
Un joueur effectue une suite de parties de pile ou face indépendantes, avec probabilité \(p\) d’obtenir pile à cha ...
Dé truqué
On considère un dé truqué cubique dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\) ...
Définition d'une probabilité
Déterminer une probabilité sur \(\Omega = \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}\) telle que la probabilité de l’événe ...
Définition et propriété d'une probabilité
A quelle(s) condition(s) sur \(x,y \in \mathbb{R}\) existe-t-il une probabilité sur ...
Détection de menaces par radar
Un système de radar militaire est utilisé pour détecter des missiles ennemis. Le radar détecte un missile avec une probabilité de 95%. Le radar déc ...
Estimation par inégalité
Une population de personnes doit voter à l’élection présidentielle. La proportion souhaitant voter pour la candidate Mme A. est inconnue, on la not ...
Estimation par inégalité
On sait qu’une personne sur cent est dyslexique. Lors des journées "citoyens", on détecte ce problème. Sur \(n\) j ...
Etude d'un jeu
Timothée vient d’ouvrir un salon de jeux. Pour l’instant, il n’a installé qu’une roulette et a simplifié le jeu de la manière suivante : on ne peut ...
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Soit \(p_{n}(k)\) le nombre de permutations de \(\{1,...,n\}\) ayant ...
exo7 247
L’histoire: \(n\) personnes apportent chacune un cadeau à une fête, et chacun tire au sort un cadeau dans le tas f ...
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Quelle est la probabilité \(p_n\) pour que dans un groupe de \(n\) personnes choi ...
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Un étudiant s’habille très vite le matin et prend, au hasard dans la pile d’habits, un pantalon, un tee-shirt, une paire de chaussettes; il y a ce ...
exo7 5986
Un QCM comporte \(10\) questions, pour chacune desquelles \(4\) réponses sont pro ...
exo7 5987
Amédée, Barnabé, Charles tirent sur un oiseau; si les probabilités de succès sont pour Amédée : \(70\)%, Barnabé : ...
exo7 5988
Lors d’une loterie de Noël, \(300\) billets sont vendus aux enfants de l’école ; ...
exo7 5989
La probabilité pour une population d’être atteinte d’une maladie \(A\) est \(p\) ...
exo7 5990
Dans un jeu de \(52\) cartes, on prend une carte au hasard : les événements <<tirer un roi>> et <&l ...
exo7 5991
La famille Potter comporte \(2\) enfants; les événements \(A\) : <<il y a d ...
exo7 5992
Dans la salle des profs \(60\)% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux port ...
exo7 5993
Une fête réunit \(35\) hommes, \(40\) femmes, ...
exo7 5995
Un professeur oublie fréquemment ses clés. Pour tout \(n\), on note : \(E_n\) l’é ...
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Dans les barres de chocolat N., on trouve des images équitablement réparties des cinq personnages du dernier Walt Disney, une image par tablette. M ...
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En cas de migraine trois patients sur cinq prennent de l’aspirine (ou équivalent), deux sur cinq prennent un médicament M présentant des effets sec ...
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Dans une population 40% des individus ont les yeux bruns, 25% des individus ont les cheveux blonds, 15% des individus ont les yeux bruns et les che ...
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Un constructeur aéronautique équipe ses avions trimoteurs d’un moteur central de type A et de deux moteurs, un par aile, de type B; chaque moteur t ...
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On sait qu’à une date donnée, 3% d’une population est atteinte d’hépatite On dispose de tests de dépistage de la maladie :
Si la pe ...
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Dans mon trousseau de clés il y a \(8\) clés; elles sont toutes semblables. Pour rentrer chez moi je mets une clé ...
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Six couples sont réunis dans une soirée de réveillon. Une fois les bises de bonne année échangées, on danse, de façon conventionnelle: un homme ave ...
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Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, les probabilités de gagner ou perdre sont les mêmes; puis, on ...
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Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affranchissements des courriers publicitaires à envoyer aux clients. P ...
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On prend au hasard, en même temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont défectueuses. Calculer la probabilité des événements:
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Un avion peut accueillir 20 personnes; des statistiques montrent que 25% clients ayant réservé ne viennent pas. Soit ...