Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
a) Calcul de primitives
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Primitives d’une fonction définie sur un intervalle à valeurs complexes. Lien entre intégrales et primitives. | Description de l’ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle connaissant l’une d’entre elles. On rappelle sans démonstration que, pour une fonction continue $f$, $x\mapsto\displaystyle\int_{x_0}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ a pour dérivée $f$. On pourra noter $\displaystyle\int^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ une primitive générique de $f$. |
Calcul des primitives, application au calcul d’intégrales. | Primitives de $x\mapsto\mathrm{e}^{\lambda x}$ pour $\lambda\in\mathbb{C}$, application aux primitives de $x\mapsto\mathrm{e}^{ax}\cos(bx)$ et $x\mapsto\mathrm{e}^{ax}\sin(bx)$. |
Primitives des fonctions exponentielle, logarithme, puissances, trigonométriques et hyperboliques, et des fonctions $x\mapsto\dfrac{1}{1+x^2}$, $x\mapsto\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. | Les étudiants doivent savoir calculer les primitives de fonctions du type $x\mapsto\dfrac{1}{ax^2+bx+c}$ et reconnaître les dérivées de fonctions composées. |
Intégration par parties, changement de variable. | Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité. |
Calcul d'intégrales définies
Calculer les intégrales suivantes :
Calcul d'intégrales par primitivation
Calculer les intégrales suivantes par primitivation :
Calcul d'intégrales par primitivation et intégration par parties
Calculer les intégrales suivantes par primitivation, intégration par parties :
Calcul d'intégrales par reconnaissance de dérivées
Calculer \(I_1=\displaystyle\int_0^{\pi/3}\bigl(1-\cos(3x)\bigr)\,dx\).
Calcul d'intégrales — puissances et fractions rationnelles
Calculer les intégrales suivantes.
Changement de variable, intégration par parties et intégrale impropre
On rappelle que \(\sin^3 t = \sin t\,(1 - \cos^2 t)\).
Décomposition en éléments simples et intégration
On considère la fonction \(f(x) = \frac{1}{x(x + 1)}\).
exo7 1245
Donner un développements limité en \(0\) à l’ordre \(10\) de :
exo7 1280
Donner la nature des intégrales suivantes : ...
exo7 1291
Convergence et calcul de : ...
exo7 1297
Nature et calcul de : ...
exo7 1298
Convergence et calcul de : ...
exo7 1491
Déterminer \(\inf\limits_{ (a, b)\in \Rr^{2}} \int_{0}^{1}{ (e^{x}- (ax + b))^{2}dx}\).
exo7 2088
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs: ...
exo7 2089
Calculer les primitives suivantes: ...
exo7 2090
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs: ...
exo7 2093
Soit \(F(x)=\displaystyle \int_x^{x^2}\frac{1}{\ln t}d t\)
exo7 2094
Calculer les intégales suivantes: ...
exo7 2095
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2098
Calculer \(\int_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}d x\) (on posera \(\theta =\arcsin \frac xR\) ...
exo7 2099
Calculer l’aire de la région délimitée par les courbes d’équation \(\displaystyle y=\frac{x^2}2\) et ...
exo7 220
En utilisant la fonction \(x\mapsto(1+x)^n\), calculer : ...
exo7 2319
Calculer les primitives des fonctions suivantes : ...
exo7 2320
Calculer les primitives des fonctions suivantes : ...
exo7 2321
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2322
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2325
Calculer les primitives des fonctions suivantes : ...
exo7 2326
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2327
Calculer les intégrales ...
exo7 2328
Soient \(a \neq 0\) un réel, et \(y>x>0\).
exo7 2329
Soit \(x>0\) un réel. Calculer les valeurs de ...
exo7 2333
Soit \(n \ge 0\) un entier. Montrer que l’intégrale ...
exo7 2335
Trouver les primitives des fonctions suivantes : ...
exo7 2693
Un train qui ralentit avec une décélération constante met 20s pour parcourir le premier km et 30s pour parco ...
exo7 3902
Déterminer des primitives des fonctions suivantes :
exo7 4061
Résoudre l’équation \(y'' + |y| = 1\), avec \(y(0) = 0,\ y'(0) = 1\). ...
exo7 4082
Trouver les fonctions \(f,g\) continues vérifiant : ...
exo7 4103
On pose \(f(x) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}e^{itx} \frac {d t}{\sqrt t}\). Former une équation différentielle sa ...
exo7 4225
Chercher \(\lim_{x \to 0^+} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\,\ln(1+t^2)}{\sin^2t\,\sh t}\,d t\).
exo7 4235
Soit \(I = \int_{t=0}^\pi \ \frac {t\sin t}{1 + \cos^2t}\,d t\). Effectuer dans ...
exo7 4236
Calculer \(I = \int_{t=0}^\pi \ \frac t{1+\sin t}\,d t\).
exo7 4237
Calculer \(\int_{t=0}^{\pi/4} \ln(1+\tan t)\,d t\). On remarquera que ...
exo7 4238
On note \(I_n = \int_0^\pi \frac{\cos nx}{2-\cos x}\,d x\), ...
exo7 4247
Soit \(f : {[0,2\pi]} \to \R\) convexe de classe \(\mathcal{C}^2\). Quel est le s ...
exo7 4260
Soit \({f} : {\R} \to {\C}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), ...
exo7 4263
...
exo7 4265
...
exo7 4266
...
exo7 4267
\(\int_{t=0} ^{\pi/2} \cos^4t \,d t = \frac{3\pi}{16}\)
...
exo7 4270
\(\int_0^{2\pi} \frac{ d t}{2+\sin{t}} = \frac{ 2\pi}{\sqrt3}\)
...