Programme de mathématiques PT
b) Courbes paramétrées du plan et de l’espace
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Courbe paramétrée par une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ à valeurs dans $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$. | Notation $t \mapsto M(t)$. |
Tangente en un point $M(t_0)$. | Sous réserve d’existence, la tangente est dirigée par $\displaystyle \lim_{t \to t_0} \overrightarrow{v}(t)$ avec $\overrightarrow{v}(t)$ un vecteur unitaire dirigeant la corde $[M(t_0)M(t)]$. |
Point régulier, courbe régulière. | |
Vecteur tangent en un point régulier. | Détermination d’une équation ou d’un paramétrage de la tangente. |
Orientation d’une courbe. | L’orientation d’une courbe régulière peut se faire par le choix d’un vecteur unitaire dirigeant la tangente ou par celui d’un sens de parcours de la courbe. |
exo7 2046
Tracer les courbes paramétrées suivantes
\[x (t) = \cos^{2} (t) \qquad y (t) = \cos^{3} (t)\sin (t)\]
...
exo7 2047
On fait rouler sans glissement un cercle de rayon \(1\) sur l’axe \((Ox)\). Déter ...
exo7 2048
Tracer la courbe d’équation \(x^{3} + y^{3} = 3xy\) en la coupant par les droites ...
exo7 2049
Tracer la courbe paramétrée définie par : ...
exo7 2052
Soit \(C\) un cercle du plan de centre \((1, 0)\) et de rayon ...
exo7 2053
Déterminer et tracer les courbes dont la tangente en tout point \(M\) fait un angle de ...
exo7 2054
Grâce aux coordonnées polaires, tracer la courbe définie implicitement par la relation ...
exo7 2056
Tracer les courbes d’équations polaires : ...
exo7 2057
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]^{2}\) de classe \(C^{1},\) montrer que ...
exo7 2071
Montrer que la courbe paramétrée \(x (t) =\dfrac 1{ t^2 + t + 1}\) et ...
exo7 2080
Calculer l’aire d’une astroïde.
exo7 2487
Soit \(C\) une courbe fermée du plan, et \(P\) et ...
exo7 2489
Soit \(C\) la cyclode d’équations \(x = t-\sin t, y = 1-\cos t\), et
...
exo7 2490
Soit \(C\) une courbe fermée du plan enclosant une aire \(S\), et ...
exo7 2694
Un segment AB de longueur \(l\) se déplace dans le plan de façon que le point A reste constamment sur ...
exo7 2696
On dispose d’un oscilloscope à deux voies. On applique sur la voie X une tension sinusoı̈dale de pulsation ...
exo7 2697
Sur l’écran d’un oscilloscope on observe la courbe dont les équations paramétriques sont les suivantes: ...
exo7 2701
On considère l’ensemble \(\Gamma\) des points du plan
\((x,y)\) qui vérifi ...
exo7 2703
Soit l’arc paramétré défini par \[x = {t-\sin t \over t^2}, \quad y = {1-\cos t \over t^2}.\] Montrer qu’il peut ...
exo7 2704
Épicycloı̈des, hypocycloı̈des -
Soit \(R >0\) un réel, et ...
exo7 2706
Montrer que la courbe de l’espace d’équations paramétriques ...
exo7 2707
Hélice -
Étudier la courbe paramétrée de l’espace définie
par
...
exo7 2708
Trouver en tout point l’équation du plan osculateur à la courbe ...
exo7 2709
On considère l’arc de l’espace défini en coordonnées paramétriques par ...
exo7 2710
Loxodromie de sphère -
On considère la courbe
paramétrique de l’espace définie par
...
exo7 2713
Étudier et tracer les courbes définies en coordonnées
polaires ci-après; s’il y a des branches infinies, les
préciser, et préciser la ...
exo7 2717
Construire la courbe ayant pour équation implicite \((x^2+y^2)^2-ax(x^2+2y^2) = 0, (a>0)\).
exo7 4115
Soit \(n>0\) et ...
exo7 4171
Soit \(f : {U \subset \R^n} \to {\R^p}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) dont les dér ...
exo7 4393
Soit \(\cal P\) le plan rapporté au repère \((O,\vec i,\vec j)\). Calculer l’aire ...
exo7 4394
On considère les courbes planes : \({\cal Q}_i\) : \((x^2 = 2q_iy)\) et ...
exo7 4395
Calculer l’aire délimitée par la courbe d’équation \((y-x)^2 = a^2-x^2\).
exo7 4397
Calculer le volume intérieur au paraboloïde d’équation \(x^2+y^2 = 2pz\) et extérieur au cône d’équation ...
exo7 4411
Soient \(M,M'\) deux points du plan d’affixes \(z = x+iy\) et ...
exo7 4855
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...
exo7 4856
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...
exo7 4857
Soient \({f,g} : {I\subset \R} \to E\) deux fonctions vectorielles de classe ...
exo7 4893
Soit un triangle \(ABC\), \(A',B',C'\), les milieux des côtés, et ...
exo7 4916
Soit \({\cal E}\) un ellipse de centre \(O\) et de dimensions ...
exo7 4986
Construire la courbe d’équations paramétriques : \(x=\frac t{t^2-1}\), ...
exo7 4987
Dessiner la courbe d’équation cartésienne : \(x^3+y^3 = 3xy\) (folium de Descartes) On prendra ...
exo7 4990
Tracer la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...
exo7 4991
Soient \(O\) et \(A\) deux points distincts dans un plan ...
exo7 4992
Déterminer les points doubles de la courbe d’équation polaire \(\rho = \frac{\theta}{\theta^2-1}\).
exo7 4993
Construire les courbes en polaires suivantes :
exo7 4994
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...
exo7 4995
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...
exo7 4996
Soit \(D\) une droite du plan et \(\mathcal{C}\) une courbe paramétrée. Pour ...
exo7 4997
Soit \(D\) une droite du plan et \(\mathcal{C}\) une courbe paramétrée. Pour ...
exo7 4998
\[
\]
Trouver les courbes ...