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Pour chacune des parties de \(\R\) suivantes, déterminer, s’ils existent, le minimum, maximum, borne inférieure et ...

Soit la fonction \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...

Soient \(x\) et \(y\) deux réels.

Résoudre les inégalités suivantes :

Soit \(M=\left( a_{i,j}\right) _{(i,j)\in \{1,...,n\}^{2}}\in M_{n}({\Rr}),\) montrer : ...

Montrer que, pour tout \(x\) réel vérifiant \(\vert x \vert \leq 1\) : ...

On définit les cinq ensembles suivants : ...

Démontrer, en le déterminant qu’il existe un entier \(n_0\) tel que ...

Démontrer par récurrence sur \(n\) que pour tout \(n\geq 2\) l’implication ...

Soient \(p\) et \(q \in ]0, + \infty[\) tels que ...

Montrer que : ...

Soit \(n\in\mathbb{N}\); montrer que pour tout entier \(k\geq 1\) on a ...

On définit une suite \((F_n)\) de la façon suivante : ...

Pour \(n \in \mathbb{N},\) soient \(a_0,\ldots,a_n\) des nombres réels de même si ...

Quels sont les entiers \(n\) \(\)tels que ...

Montrer que : ...

Soient \((a_i)_{1\leq i\leq n}\) et \((b_i)_{1\leq i\leq n}\) deux familles de ...

Soit \((E,N)\) un espace vectoriel normé. Montrer : ...

Soit \(E\) un espace vectoriel normé, et \((a,a')\in E^2\), ...

Le but de cet exercice est de montrer que \[\forall n\geq3 \quad \pi(2n+1)\geq \ln2\times{2n+1 \over \ln(2n+1)}\] ...

Soit \(u_n\), \(n\geq1\) des nombres complexes. Montrer: ...

Soient \(a\in\Z\) et \(b\in\N^*\). Montrer que : ...

Soit \(a \in \Q^+\) tel que \(\sqrt a \notin \Q\).

Montrer qu’il existe ...

On note \(x_n = (\sqrt3 + 1)^{2n+1}\), \(y_n = (\sqrt3 - 1)^{2n+1}\), et ...

Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Démontrer que : ...

Soient \(x_1, x_2, \dots, x_n > 0\). Montrer que ...

Calculer \(\int_{t=1}^{+\infty} \frac{t-[t]}{t^2} \,d t\) en fonction de la constante d’Euler.

Montrer que pour \(0 \le x \le \sqrt n\) on a : ...

Soit \(a\in \Rr\), montrer : ...

Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément ...

Soit \((u_n)\) une suite réelle convergeant vers \(\ell \in \R\). La ...

Soit \[I = \left\lbrace x \in \Rr \ | -2 < x +\frac{1}{2x} \le 2 \right\rbrace.\]

Démontrer, sans utiliser la fonction \(\ln\), que ...

Soit \(x\in\R\). Chercher ...

Les ensembles suivants ont-ils une borne supérieure, un plus grand élément, une borne inférieure, un plus petit élément, dans ...

On considère l’ensemble des nombres de la forme \(1+\frac{1}{n}\), où \(n\) décri ...

Étant donné un ensemble \(A \subset\mathbb{R}\), écrire avec des quantificateurs les propriétés suivantes :

Soit \(A\) et \(B\) deux parties bornées de ...

Soit \(A\) l’ensemble des nombres réels qui peuvent s’écrire ...

Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs. On pose ...

Démontrer par récurrence sur \(n\) que pour tout \(n\geq 2\) l’implication ...

Soient \(a_1,\ldots,a_n,\ b_1,\ldots,b_n \in \Rr\), les \(a_i\) n’étant pas tous ...

Si \(a\) et \(b\) sont des réels positifs ou nuls, montrer que : ...

Soient \(x=(x_1,\ldots,x_n)\) et \(y=(y_1,\ldots,y_n)\in\Rr^n\). On note ...

Pour tout \(x,y\in \Rr\) et \(\lambda > 0\) montrer que : ...

Soit deux nombres réels \(a\) et \(b\) vérifiant : ...

On note \(E (x)\) la partie entière d’un réel \(x\).

Soient \(n\in \Nn^{*},\) et \((x_{1},x_{2},...,x_{n})\in [0,1]^{n}\), montrer que ...

Montrer : \[\forall n\geq 1,\forall x\in \Rr,\sum\limits_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})=E(nx).\]

Démontrer que : \[\forall n\in \Nn^{*},E(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})=E(\sqrt{4n+2}).\]