Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Géométrie du plan et de l’espace
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À l’issue de la terminale, les étudiants connaissent le plan géométrique euclidien et l’espace géométrique euclidien de dimension 3 en tant qu’ensembles de points, la façon d’associer à deux points $A$ et $B$ le vecteur $\overrightarrow{AB}$, ainsi que les propriétés opératoires usuelles. À ce titre, on pourra utiliser la notation $B=A+\vec{u}$, équivalente à $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$.
Cette section permet d’illustrer géométriquement la théorie des systèmes linéaires et de renforcer l’intuition géométrique en lien avec l’étude des espaces vectoriels abstraits. Il convient d’avoir recours à de nombreuses figures en dimension 2 et en dimension 3.
exo7 4961
Dans un rond on donne les plans ...
exo7 4962
Dans un rond on donne les points \(A:(1,2,3)\), \(B:(2,3,1)\), ...
exo7 4963
Dans un rond on donne les droites \(D : \begin{cases}x - y + z = -1 \cr 2x + y - z = 0 \cr\end{cases}\) ...
exo7 4964
Dans un rond on donne les droites \(D : \begin{cases}x +2y - z = 1 \cr 2x - y +2z = 2 \cr\end{cases}\) ...
exo7 4965
Soit \(ABCD\) un tétraèdre dont les quatre faces ont même aire. Montrer que les côtés non coplanaires ont deux à d ...
exo7 4966
Soit \(ABCD\) un tétraèdre régulier de côté \(a\). Chercher la distance entre deu ...
exo7 4967
Dans un rond on donne la droite \(D : \begin{cases} x +2y - z = -3 \cr x - y +2z = -4\cr\end{cases}\) e ...
exo7 4969
Dans un rond on donne les points \(A:(1, 0, -1)\), \(B:(-1, 1, 1)\), ...
exo7 4970
Dans un rond on donne les plans \(P : x+y+z = 1\) et \(Q : 2x-y+z=1\). C ...
exo7 4971
Soient \((O,\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC})\) et ...
exo7 4972
Soient \(P\) un plan, \(D\) une droite tels que ...
exo7 4974
Déterminer l’équation de la sphère contenant les cercles d’équations ...
exo7 4975
Soit \(S\) une partie de l’espace contenant au moins deux points et telle que pour tout plan ...
exo7 498
Soient \(n\in \Nn^{*},\) et \((x_{1},x_{2},...,x_{n})\in \Rr^{n}\) tels que ...
exo7 4989
Soit \(\Gamma\) un cercle de centre \(O\) et de rayon 1, ...
exo7 4990
Tracer la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...
exo7 4991
Soient \(O\) et \(A\) deux points distincts dans un plan ...
exo7 4993
Construire les courbes en polaires suivantes :
exo7 4994
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...
exo7 4995
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...
exo7 4998
\[
\]
Trouver les courbes ...
exo7 5001
On se place dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. Donner l’ensemble des trajectoires orthogonales de la famille des cercle ...
exo7 5009
Soit \(\mathcal{C}\) le cercle : \(x^2+y^2=1\). Soit ...
exo7 5018
Chercher l’enveloppe d’un diamètre \(\Delta\) d’un cercle \(\cal C\) roulant sans ...
exo7 5019
Soit \(\cal C\) un cercle passant par \(O\) centré sur ...
exo7 5020
Tracer la courbe d’équation polaire \(\rho = \frac{a}{\cos 3\theta}\), \(a>0\) ...
exo7 5026
Calculer la longueur totale des courbes suivantes :
exo7 5032
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe d’équations paramétriques ...
exo7 5033
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...
exo7 5042
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) définie par : \(x(t) = \frac{t^4}{1+t^2}\) ...
exo7 5055
Soit \(\mathcal{C}\) le cercle intersection de la sphère d’équation ...
exo7 5059
Soit \({\cal S}\) la sphère de centre \(A=(a,0,0)\) et de rayon ...
exo7 5060
Soit \(A=(0,1,0)\) et \({\cal S}\) la surface constituée des cercles verticaux de ...
exo7 5061
On considère la droite \(\Delta\) d’équations : \(x=a\), ...
exo7 5133
Pour \(z\in\Cc\setminus\{1\}\), on pose \(Z=\frac{1+z}{1-z}\). Déterminer et cons ...
exo7 5164
Soit \(E\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des applications de ...
exo7 5175
Soit \(C\) l’ensemble des applications de \(\Rr\) dans ...
exo7 5176
Montrer que la commutativité de la loi \(+\) est une conséquence des autres axiomes de la structure d’espace vecto ...
exo7 5179
Soit \(n\) un entier naturel. Montrer que si \(n\) n’est pas un carré parfait alo ...
exo7 5180
Dans \(E=\Rr^\Rr\), étudier la liberté des familles suivantes \(A\) de vecteurs d ...
exo7 5196
On donne les points \(A(1,2)\), \(B(-2,1)\) et ...
exo7 5197
Déterminer le projeté orthogonal du point \(M(x_0,y_0)\) sur la droite \((D)\) d’ ...
exo7 5199
Soit \((E)\) l’ensemble d’équation cartésienne \(2x^2+5xy+3y^2-3x-2y-5=0\). Montr ...
exo7 5200
Déterminer un cercle tangent aux trois droites d’équations respectives \(y=2x+1\), ...
exo7 5203
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe d’équation \(x^2+y^2-2x+4y+1=0\).
exo7 5204
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points non al ...
exo7 5205
Construire l’ensemble des points \(M\) de coordonnées polaires ...
exo7 5206
Montrer qu’il n’existe pas de triangle équilatéral dont les sommets appartiennent aux points d’intersection des lignes d’une feuille blanche quadri ...
exo7 5216
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5376
Donner une base du sous-espace vectoriel de \(\Rr^5\) défini par :
...