Programme de mathématiques MP, MPI
a) Compléments sur les groupes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Intersection de sous-groupes. Sous-groupe engendré par une partie. Partie génératrice d’un groupe. Sous-groupes du groupe $(\mathbb{Z},+)$. Groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$. Générateurs de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. | |
Groupe monogène, groupe cyclique. | Groupe des racines $n$-ièmes de l’unité. |
Tout groupe monogène infini est isomorphe à $(\mathbb{Z},+)$. Tout groupe monogène fini de cardinal $n$ est isomorphe à $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$. | |
Ordre d’un élément d’un groupe. Si $x$ est d’ordre fini $d$ et si $e$ désigne le neutre de $G$, alors, pour tout $n\in\mathbb{Z}$, $x^n=e\iff d\mid n$. | L’ordre de $x$ est le cardinal du sous-groupe de $G$ engendré par $x$. |
L’ordre d’un élément d’un groupe fini divise le cardinal du groupe. | La démonstration n’est exigible que pour $G$ commutatif. |
exo7 1305
Montrer que les transformations géométriques qui conservent globalement un rectangle forment un groupe. Faire l’étude de ce groupe.
exo7 1306
Étudier le groupe des isométries du carré.
exo7 1309
Montrer qu’il existe une seule table possible pour un groupe d’ordre \(3\). Est-ce vrai pour ...
exo7 1319
Montrer que si \(H\) et \(K\) sont des sous-groupes de ...
exo7 1320
Si \(G\) est un groupe, on appelle centre de \(G\) et on note ...
exo7 1324
Déterminer le sous-groupe de \(\Zz\) engendré par les entiers 24, 36 et \(-54.\) ...
exo7 1325
Les questions sont indépendantes. Soit \(j\) le nombre complexe ...
exo7 1326
Soit \(G\) un groupe engendré par \(a\) et ...
exo7 1327
Soit \(G\) un sous-groupe de \((\Rr,+)\) avec ...
exo7 1328
Soit \(G\) un groupe. Montrer que l’ensemble \(Aut(G)\) des automorphismes de ...
exo7 1330
Si \(K\) est un sous-groupe de \(H\) et \(H\) un ...
exo7 1331
Soit \((G,.)\) un groupe. Montrer l’équivalence de:
exo7 1333
Quel est le plus petit sous-groupe de \((\Rr,+)\) (resp. de \((\Rr^*,\times)\)) c ...
exo7 1335
On appelle ordre d’un élément d’un groupe fini \((G,\ast)\) l’ordre du sous-groupe engendré dans ...
exo7 1338
Soit le groupe \(G=\Zz/12\Zz\).
exo7 1341
Soient \(G\) un groupe et \(x, y\in G\) des éléments qui commutent et d’ordres re ...
exo7 1342
Le groupe \((\Q ,+)\) est-il monogène ?
exo7 1343
Décrire tous les homomorphismes de groupes de \({\Zz}\) dans \({\Zz}\). Détermine ...
exo7 1350
Montrer que \(\mathbb{U}_2 \times \mathbb{U}_3\) est isomorphe à \(\mathbb{U}_6\) ...
exo7 1351
Soit \(G\) un groupe.
exo7 1369
Montrer que \(\overline{k}\) est inversible dans l’anneau \(\Zz {/}n\Zz\) si et s ...
exo7 1385
On suppose que \(\varphi\) est un isomorphisme de \((G,\ast)\) sur ...
exo7 1386
Soient \(p\) un nombre premier et \(G\) un groupe d’ordre ...
exo7 1387
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(pn\) avec \(p\) p ...
exo7 1388
Déterminer (à isomorphisme près) tous les groupes d’ordre \(4 .\)
exo7 1390
Montrer que tout morphisme de groupes de \(\Q\) dans un groupe fini \(G\) est tri ...
exo7 1392
Soit \(G\) un groupe fini de cardinal \(2n\) ( ...
exo7 1393
Donner la liste des générateurs de \((\Z /n\Z ,+) .\)
exo7 1394
Soit le groupe \(G\) (additif) \(\Zz/40\Zz.\)
exo7 1395
Montrer qu’il n’existe aucun élément d’ordre 3 dans le groupe \(\Zz/2\Zz\times \Zz/4\Zz.\)
exo7 1396
Soit \(f\) un morphisme de groupes de \(\Zz/15\Zz\) dans ...
exo7 1397
Soit \(G\) le groupe-produit ...
exo7 1398
Soit \(f:\Zz \to \Zz/3\Zz \times \Zz/5\Zz\) définie par ...
exo7 1399
Les groupes \(\Zz/8\Zz,\) \(\left(\Zz/2\Zz\right)\times \left(\Zz/4\Zz\right)\) e ...
exo7 1400
On note \(R_n\) la rotation du plan de centre \(O\), d’angle ...
exo7 1402
Déterminer \(\text{card}(S_{3})\) et écrire tous les éléments de \(S_{3}\), puis ...
exo7 1404
Comment passer de 1234 à 2314 en échangeant seulement deux chiffres à chaque étape ? Y a-t-il plusieurs façons d’y parvenir ? Même question pour 12 ...
exo7 1410
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(2n\) et \(H\) un ...
exo7 1415
Quel est l’ordre maximal d’un élément de \(S_4 ?\) De \(S_5 ?\) De ...
exo7 1420
Le groupe \(G=\mathcal{S}_3\times \mathcal{S}_3\) est-il abélien ? Déterminer tous les sous-groupes de ...
exo7 1425
Montrer que dans \(\mathcal{S}_n\) on a \(f\circ (a,b)\circ f^{-1}=(f(a),f(b))\). ...
exo7 1434
Soit \(G\) un groupe non réduit à un élément. Un sous-groupe \(M\) de ...
exo7 1435
Déterminer tous les sous-groupes de \(\Zz/8\Zz.\)
exo7 1436
Montrer que le groupe-quotient \(\Cc/\Rr\) est isomorphe à \(\Rr.\)
exo7 1437
Soit \(G\) le groupe \(\Qq/\Zz\). Si \(q\in\Q\), ...
exo7 1438
Décrire le groupe-quotient \(\Rr^{*}/\Rr_{+}^{*}\) et montrer qu’il est isomorphe à ...
exo7 1439
Montrer que tout quotient d’un groupe monogène est monogène.
exo7 1440
Soient \(G\) le groupe-produit ...
exo7 1446
Soit \(G\) le sous-groupe de \(Gl(2, \R )\) engendré par les matrices ...
exo7 1447
Les questions sont indépendantes.