Parcourir les exercices

Soient \(a\) et \(b\) deux entiers relatifs, tels que ...

Écrire l’ensemble de définition de chacune des fonctions numériques suivantes : \(x\mapsto\sqrt x\), ...

Soit \(G\) le groupe \(\Qq/\Zz\). Si \(q\in\Q\), ...

Soit \(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\), \(r\) nombres premiers. Montrer que l’entier ...

Démontrer, en raisonnant par récurrence, que \(10^{6n+2}+10^{3n+1}+1\) est divisible par ...

Démontrer par récurrence que pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(k!\) divise le produ ...

Les propriétés \[P_n \;:\; 3 \mid 4^n-1 \;,\; \forall n \in \mathbb{N},\] et ...

Calculer les restes de la division euclidienne de \(1,4,4^2,4^3\) par \(3\).

Soit \(n\) un entier impair non divisible par \(3\). Montrer que ...

La relation “divise” est-elle une relation d’ordre sur \(\Nn\) ? sur \(\Zz\) ? Si ...

Montrer que tout entier \(n>0\) divise toujours \(\varphi(2^n-1)\) (où ...

En utilisant la formule du binôme, démontrer que :

On dit que \(\quad a \mod n\) est inversible si il existe \(b \mod n\) tel que ...

Soient \(m,n\in\Nn^*\) et \(p\in\Nn\). En utilisant la formule du binôme, démontr ...

Pour quel \(n\), \(m\) dans \(\Zz\) la fraction ...

Soit \(P\in \Zz[x]\). Soit \(\dfrac{a}{b}\) sa racine rationnelle : ...

Quels sont les restes des division de \(10^{100}\) par \(13\) et par ...

Sachant que l’on a \(96842=256\times 375 + 842\), déterminer, sans faire la division, le reste de la division du n ...

Soient \(m\ge 1\) et \(n\ge 2\) des entiers ; montrer que :

Soit \(a\) un entier relatif quelconque, démontrer que le nombre \(a(a^2-1)\) et, ...

Quel est le plus petit entier naturel qui, divisé par \(8,15,18\) et \(24\), donn ...

Montrer que \(\forall n\in \Nn\) : ...

Trouver tous les entiers relatifs \(n\) tels que \(n^2+n+7\) soit divisible par ...

Le diviseur d’une division est égal à \(45\) ; le reste est le carré du quotient. Calculer le dividende entier nat ...

Trouver le plus petit entier naturel \(n\) telle que le développement décimal de ...

Les nombres \(a\), \(b\), \(c\), ...

Soit \(n\) un entier relatif. Montrer que soit \(8\) divise ...

Étant donnés deux nombres relatifs \(n\) et \(p\) montrer que soit ...

Montrer que si \(n\) est un entier naturel somme de deux carrés d’entiers alors le reste de la division euclidienn ...

Soit \(n\) un entier naturel dont le reste de la division euclidienne par 5 vaut ...

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Montrer que parmi les trois entiers \(n.(n+1)\), ...

Pour tout couple de nombres réels \((x,y)\) montrer, par récurrence, que pour tout ...

Soit \(a,b \in {\mathbb{Z}}^2\) dont les restes modulo \(11\) sont ...

Montrer que \(7\) divise \(2222^{5555}+5555^{2222}\);

Montrer que pour tout \(n> 0\) :

Déterminer la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de \(3^{500}\).

Trouver les entiers positifs \(n\) tels que \(n-1\) divise ...

Montrer que pour chaque \(n \in \mathbb{N}\), \(4\) ne divise pas ...

Montrer que pour chaque entier positif \(n\), \(49\) divise ...

Trouver tous les entiers positifs \(a\) tels que \(a^{10}+1\) est divisible par ...

Quel est le chiffre des unités de \(19971997^{10}\) ?

Déterminer les entiers \(n \in \Nn\) tels que :

Soit \(k \in \Zz\). Déterminer les entiers \(n \in \Nn^*\) tels que ...

Montrer que \(\forall (a, b) \in \Nn \times \Nn^*\) il existe un unique ...

Montrer que le reste de la division euclidienne par \(8\) du carré de tout nombre impair est ...

Montrer qu’il est équivalent dans \(\mathbb{Z}\) de dire \(m\) divise  ...

Déterminer \(2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}\). Est-ce un sous-groupe de ...

Soit \(A = \{ m/n \in \Q \text{ tel que } n \text{ est impair} \}\).

Soit \(A = \{ a + bi \text{ tq } a,b \in \Z\}\).

Notons \(a=1\;111\;111\;111\) et \(b=123\;456\;789\).