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Soit \(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}\), \(r\) nombres premiers. Montrer que l’entier ...

Montrer que : \[\forall n\geq 2,u_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\notin \Nn.\] Indication : montrer ...

Démontrer que si \(p\) est un nombre premier, \(p\) divise ...

Quels sont les restes des division de \(10^{100}\) par \(13\) et par ...

Soit \(p\) un nombre premier impair. Montrer que la congruence ...

Combien \(15!\) admet-il de diviseurs ?

Montrer que si \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels tels que ...

On considère le nombre \(m = 2^np\), dans lequel \(n\) désigne un entier naturel ...

Trouver le plus petit entier naturel \(n\) telle que le développement décimal de ...

Les nombres \(a\), \(b\), \(c\), ...

Montrer que :

Calculer le pgcd des nombres suivants :

Soit \(p \in \N^*\), et \(n = 2^p\).

Soit \(G\) un groupe n’ayant pas de sous-groupe non trivial. Montrer que \(G\) es ...

Soit \(K\) un corps fini. Pour \(x\in K^*\) on note ...

Soit \(n\in\N\), \(n\ge 2\). Montrer que si ...

Montrer que : \(\forall\ n \in \Z\), \(n^2 + 3n + 5\) n’est pas divisible par 121 ...

Montrer que pour tous entiers \(m\) et \(n\), le nombre ...

Soient \(a_1, \dots, a_n \in \N^{*}\) et \(b_i = \prod_{j \ne i} a_j\). Montrer q ...

Soient \(a,b,c \in \N^*\). Quand a-t-on ...

Soient \(a_1, \dots, a_n \in \N^{*}\) et \(b_i = \prod_{j \ne i} a_j\).

Mo ...

Soient \(a,b \in \N^*\) premiers entre eux tels que \(ab\) est un carré ...

Soient \(a,b \in \N^*\) et \(m,n\) premiers entre eux tels que ...

Montrer que la plus grande puissance de \(2\) divisant \(5^{(2^n)} - 1\) est ...

On suppose que \(a^r-1\) est un nombre premier. Montrez que \(r\) est premier, pu ...

On note \(M_n = 2^n - 1\) (\(n\)-ième nombre de Mersenne).

Soient \(a,n \in \N\) tels que \(a \ge 2\), ...

Pour \(n \in \N^*\), on note \(d_n\) le nombre de diviseurs positifs de ...

Montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers \(p\) tels que ...

On rappelle que si \(p\) est premier et \(n\wedge p = 1\), alors ...

Trouver 1000 entiers consécutifs non premiers.

Quelle est la plus grande puissance de 6 divisant \(1000\,!\) ?

Soit \(n \in \N\), \(n \ge 2\). Montrer que ...

On cherche les couples \((x,y) \in \bigl(\Q^{+*}\bigr)^2\) tels que \(x < y\) ...

Soit \(p\) un nombre premier impair. Montrer que \(\dot k\) est un carré ...

Déterminer tous les polynômes \(P\) tels que ...

Soit \(P\in\Z[X]\) non constant et \(E\) l’ensemble des diviseurs premiers d’au m ...

Soit \(P \in {\Z[X]}\). On appelle contenu de \(P\) le pgcd ...

Un terrain rectangulaire dont les dimensions en mètres \(a\) et \(b\) sont des no ...

Soient \(a,b\) des entiers supérieurs ou égaux à \(1\). Montrer :

Démontrer que, si \(a\) et \(b\) sont des entiers premiers entre eux, il en est d ...

Soit \((x,y,z)\in \Nn^3\) . Montrer que : ...

Montrer par récurrence que \(\forall n\in \Nn ,\forall k\geqslant 1\) on a : ...

Soit \(p \in \mathbb{Z}\) un nombre premier. Montrer que si \(a\in \mathbb{Z}\) n ...

Prouver que pour vérifier qu’un entier \(p\) est premier, il suffit de vérifier qu’il n’a pas de diviseurs inférie ...

Démontrer que tout nombre premier \(p\) divise \((p-1)!+1\).

Montrer que les nombres suivants ne sont pas premiers :

Soit \(X\) l’ensemble des nombres premiers de la forme \(4k + 3\) avec ...

Soit \(a\in \Nn\) tel que \(a^{n}+1\) soit premier, montrer que ...

Soit \(n\) un nombre premier et \(p\in \{1,...,n-1\},\) montrer que ...