Parcourir les exercices

Calculer les primitives des fonctions suivantes : ...

Montrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation \(\sum_{k=1}^{100}\frac k{x-k}\ge 1\) est une r ...

Soit \(F \in { K(X)}\) non constante et \(P \in { K[X]}\), ...

Soient \(F, G_0, \dots, G_{n-1} \in { K(X)}\) telles que ...

Soit \(F \in {\C(X)}\). Étudier ...

Trouver tous les couples \((F,G) \in \bigl({\C(X)}\bigr)^2\) tels que ...

Soit \(F \in {\C(X)}\) telle que \(F(e^{2i\pi/n}X) = F(X)\). Montrer qu’il existe ...

Soit \(H = \{ F \in { K(X)}\) tel que \(F(\scriptstyle X) = F(\frac 1X) \}\).

Soit \(F \in { K(X)}\) définie en \(a \in K\). Démontr ...

Soit \(A = \{ F \in { K(X)}\) tels que \(\deg F \le 0 \}\). Démontre ...

Soient \(a_1, \dots, a_n \in K\) distincts et ...

Soit \(E = \R_n[X]\) et \((P\mid Q) = \int_{t=0}^1 P(t)Q(t)\,d t\).

\(\int_0^{+\infty} \frac{ d t}{(1+t^2)^2} = \frac{\pi}{4}\)

...

Calculer \(I_n = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{(t+1)(t+2)\dots(t+n)}\).

Décomposer \(\frac{X^3-3X^2+X-4}{X-1}\) en éléments simples sur \(\mathbb{R}\). ...

Donner un équivalent simple de \(\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{n^2-k^2}\).

Décomposition en éléments simples \(\displaystyle\Phi={2x^4+x^3+3x^2-6x+1\over2x^3-x^2}.\)

Décomposition en éléments simples \(\displaystyle\Phi={4x^6-2x^5+11x^4-x^3+11x^2+2x+3\over x(x^2+1)^3}.\)

Donner une CNS sur \(f\in \Cc(X)\) pour qu’il existe \(g\in \Cc(X)\) tel que ...

On appelle valuation une application \(v :\Cc(X)\rightarrow {\Zz}\cup \{\infty \}\) telle que : ...

On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et po ...

Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)

Soit \(R\) une fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement négatif, n’ayant pas de pôle da ...

Soit \(U_n\) l’ensemble des racines \(n\)-ièmes de l’unité dans ...

Soit \(F=\frac{P}{Q}\) où \(P\) et \(Q\) sont de ...

Montrer que \((\frac{1}{X-a})_{a\in\Cc}\) est libre dans \(K(X)\).

Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...

Soit \(p\in\Nn^*\), calculer ...

Soit \(K\) un corps et soit \(K(X)\) le corps des fractions de l’anneau ...

Calculer les intégrales suivantes :

Existe-t-il une fraction rationnelle \(F\) telle que ...

Soit \(F=\frac{P}{Q}\) une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible. On suppose qu’il existe une fracti ...

Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur \(\Rr\), par identification des coefficients.

Soit \(a\) un nombre complexe de module strictement inférieur à \(1\). Montrer qu ...

Calculer les primitives suivantes : ...

Calculer les primitives suivantes : ...

Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{8x-3}{\sqrt{12x-4x^2-5}}\] ...

Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\text{ch}x \sin (2x)\] ...

Soit \(E\) l’ensemble des fractions rationnelles \(F\) qui peuvent s’écrire ...