Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
c) Théorèmes de Rolle et des accroissements finis
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Théorème de Rolle. | |
Égalité des accroissements finis. | Interprétations géométrique et cinématique. |
Inégalité des accroissements finis : si $f$ est dérivable et si $\lvert f'\rvert$ est majorée par $K$, alors $f$ est $K$-lipschitzienne. | La notion de fonction lipschitzienne est introduite à cette occasion. Application à l’étude de suites définies par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$. |
Caractérisation des fonctions dérivables constantes, monotones, strictement monotones sur un intervalle. | |
Théorème de la limite de la dérivée : si $f$ est continue sur $I$, dérivable sur $I\setminus\{a\}$ et si $\lim\limits_{\substack{x\to a\\ x\neq a}}f'(x)=\ell\in\mathbb{R}$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=\ell$. Extension au cas où $\ell=\pm\infty$. | La fonction $f'$ est alors continue en $a$. |
exo7 4311
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur ...
exo7 439
Soit \(K\subseteq\Cc\) un corps pour les lois usuelles sur \(\Cc\) et ...
exo7 4554
On pose \(\phi (x)= d(x,\Z)=\inf\{ |x-n| \text{ tel que } n\in\Z\}\).
exo7 4703
Étudier la convergence de la suite \((u_n)\) définie par :
exo7 5242
Montrer que pour \(x\) réel strictement positif, on a : ...
exo7 5407
Soit \(f\in C^1([a,b],\Rr)\) telle que ...
exo7 5408
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 5409
Soit \(f\in C^2([a,b],\Rr)\cap D^3(]a,b[,\Rr)\). Montrer qu’il existe ...
exo7 5412
Pour \(n\) entier naturel non nul donné, on pose \(L_n=((X^2-1)^n)^{(n)}\).
exo7 5414
Montrer que la fonction définie sur \(\Rr\) par \(f(x)=e^{-1/x^2}\) si ...
exo7 5415
Montrer que pour tout réel strictement positif \(x\), on a : ...
exo7 5416
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5417
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) à valeurs dans ...
exo7 542
Étudier la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 5421
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur ...
exo7 544
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= \cos u_n\) et \(u_0=-8\).
exo7 547
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 555
Soit \(f(x)=-x^3+x^2-x+1\) et \(a\in [0,1]\). Étudier la suite définie par ...
exo7 557
Étudier la suite définie par récurrence par \(u_0=a\) et \(u_{n+1}=\cos u_n\), où ...
exo7 6832
Soit \(U\) un ouvert de \(\Rr^n\) et ...
exo7 716
Etudier la fonction \(f: x\mapsto x^5-5x+1\) sur \(\mathbb{R}\) et en déduire que ...
exo7 717
Montrer que le polynôme \(X^n+aX+b\), (\(a\) et ...
exo7 718
Soit \(f\) une fonction \(n\) fois dérivable sur ...
exo7 720
Soit \(f\) une fonction continue et dérivable sur \([a,+\infty[\) et telle que ...
exo7 721
Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction \[f(x) =\alpha x^2+\beta x+\gamma\] sur l’i ...
exo7 722
Appliquer la formule des accroissements finis à la fonction \[f(x)=a+bx+ce^{\alpha x}\] (où ...
exo7 723
Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \([a,a+2h]\). Par introduction de ...
exo7 724
Soient \(x\) et \(y\) réels avec \(0<x<y\) ...
exo7 725
Par application du théorème des accroissements finis à \(f(x) = \ln x\) sur ...
exo7 727
Montrer que pour tout \(x \in \Rr\), ...
exo7 732
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) dérivable telle que ...
exo7 737
Soit \(f\in C^{1}([0;1],{\Rr}),\)telle que \(f(0)=0.\) Calculer : ...
exo7 738
Soient \(f,g :[a , b] \longrightarrow \R\) deux fonctions continues sur ...
exo7 783
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans ...
exo7 802
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \([0,1]\), vérifiant :
exo7 804
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \([a,b]\), vérifiant ...
exo7 882
Soit \(p\) continue positive non nulle ; montrer que toute solution de ...
Le problème du gradient vanishing
On considère un RNN simple scalaire sans entrée, pour isoler la dynamique de l’état caché : ...