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Montrer que le polynôme \(P(X)-X\) divise le polynôme \(P(P(X))-X\).

Déterminer \(a,b \in \Zz\) de façon à ce que le polynôme \(aX^{n+1}-bX^n+1\) soi ...

Existe-t-il un polynôme \(P\) de degré 7 tel que \((X-1)^4\) divise ...

Effectuer les divisions euclidiennes de
\(3X^5+4X^2+1 \ \text{ par }\ X^2+2X+3\),
...

Dans \(\Cc[X]\), effectuer les divisions euclidiennes de
...

Soit \(a\) et \(b\) deux nombres complexes distincts, ...

Pour \(n\in\mathbb{N}\), quel est le reste de la division de \(X^n+X+b\) par ...

Pour \(n\in \mathbb{N}\), montrer que le polynôme \((X-1)^{n+2}+X^{2n+1}\) est di ...

Chercher tous les polynômes \(P\) tels que \(P+1\) soit divisible par ...

Déterminer \(a\) et \(b\) dans \(\Rr\) tels que ...

Déterminer le reste de la division euclidienne de \((\sin a X + \cos a)^n\) par ...

Soit \(P\) un polynôme dont le reste de la division euclidienne par \(X-1\) est ...

Effectuer la division euclidienne de \(X^5-7X^4-X^2-9X + 9\) par \(X^2-5X + 4\). ...

Soit \(n \geq 1\). Déterminer le reste de la division euclidienne de ...

Soient \(P,Q\in K[X]\) tels que \(X^2+X+1\) divise ...

Quels sont les polynômes \(P\in\Cc[X]\) tels que \(P'\) divise ...

Calculer pgcd\((P,Q)\) lorsque :

Montrer qu’il existe deux polynômes : \(U, V\), vérifiant : ...

Trouver le pgcd des trois polynômes : ...

Montrer que les polynômes \(X-1\) et \(X-2\) sont premiers entre eux et en déduir ...

Pour tout \(a\in\Rr\) et tout \(n\in\Nn^*\), démontrer que ...

Soit \(P \in \R[X]\) de valuation 1. Démontrer que pour tout entier \(n \in \N\), ...

Décomposition en éléments simples \(\displaystyle\Phi={2x^4+x^3+3x^2-6x+1\over2x^3-x^2}.\)

Soit \(p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i\). On suppose que tous les \(a_i\) son ...

Pour \(\lambda \in \R\) on considère la droite \(D_\lambda\) d’équation cartésien ...

Soit \(P\) un polynôme différent de \(X\). Montrer que ...

Division euclidienne de \(P=\sin aX^n-\sin(na)X+\sin((n-1)a)\) par ...

Déterminer \(a\in\Cc\) tel que \(P=X^5-209X+a\) admette deux zéros dont le produi ...

Soit \(n\in\Nn^*\). Montrer que \((X-1)^{2n}-X^{2n}+2X-1\) est divisible par ...

On pose \(P=a(X-x_1) ... (X-x_n)\) où les \(x_i\) sont des complexes non nécessai ...

Calculer \(\text{exp}(tA)\), \(t\in\Rr\), si

Montrer que \(\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)\), \(\text{exp}(A)\) est un polynôme ...

Soit \(\mathbb{F}\) un corps et \(P,\; Q\in \mathbb{F}[X]\) tels que ...

Pour quelle valeur de \(\lambda\) les polynômes suivants ont-ils un zéro en commun ?

Effectuer la division euclidienne de \(A\) par \(B\) :

À quelle condition sur \(a,b,c\in\Rr\) le polynôme \(X^4+aX^2+bX+c\) est-il divis ...

Existe-t-il une fraction rationnelle \(F\) telle que ...

Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur \(\Rr\), en raisonnant par substitution pour obtenir le ...

Déterminer le pgcd et le ppcm des polynômes \(X^5 - 3X^4 + X^3 + 2X^2 - 6X +2\) et ...

Soit \(P = X^4 + 1 \in \C[X]\).

Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(d\) un diviseur de ...

Soit \(P = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n \in \Z[X]\). On veut déterminer si \(P\) ...

Montrer que \(X^2 + 4\) est irréductible dans \(\Z[X]\) mais réductible dans ...

Le polynôme \((X^2+X+1)^3\) est-il irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\) ?

Résoudre dans \(\R[X]\) le système de congruences ...

Calculer \(P(2)\) où \(P=3x^4-x^2-16x-14\) par la méthode de Hörner. Effectuer la ...

Le but de l’exercice est de factoriser le polynôme \(x^4 + 4x^3 - 81x^2 -16x + 308\).

Soit \(P=3x^5 - 6x^4 + x^3 + 5x^2 - 3x - 4\).

Enoncer le théorème de Lagrange.