Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral
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Le point de vue adopté dans cette section est pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse. La mise en place rigoureuse des notions abordées fait l’objet de sections ultérieures.
Les objectifs de formation sont les suivants :
- l’introduction de fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d’optimisation ;
- la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu ;
- le calcul de dérivées et de primitives ;
- la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable ;
- l’application des deux points précédents aux équations différentielles.
Le cours sur les équations différentielles est illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques.
- A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes 387
- B - Primitives et équations différentielles linéaires 284
Ajuster une droite en pénalisant sa pente
On veut ajuster le modèle \(\widehat y=ax+b\) aux deux observations \((0,0)\) et ...
Calcul d'intégrales définies
Calculer les intégrales suivantes :
Calcul d'intégrales par primitivation
Calculer les intégrales suivantes par primitivation :
Calcul d'intégrales par primitivation et intégration par parties
Calculer les intégrales suivantes par primitivation, intégration par parties :
Calcul d'intégrales par reconnaissance de dérivées
Calculer \(I_1=\displaystyle\int_0^{\pi/3}\bigl(1-\cos(3x)\bigr)\,dx\).
Calcul d'intégrales — puissances et fractions rationnelles
Calculer les intégrales suivantes.
Calcul de limite en l'origine par coordonnées polaires
Soit la fonction \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Changement de variable, intégration par parties et intégrale impropre
On rappelle que \(\sin^3 t = \sin t\,(1 - \cos^2 t)\).
Des composées
On considère les fonctions \(f:x\donne x^2, g:x\donne \sqrt{x}\) et ...
Des domaines de définitions
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes : ...
Des inégalités en tout genre
Résoudre les inégalités suivantes :
Des inégalités sympathiques
Démontrer les inégalités suivantes : ...
Des sinus et des $x$
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R\) par ...
Domaine de définition et lignes de niveau
On considère la fonction \(f\) définie par ...
Décomposition en éléments simples et intégration
On considère la fonction \(f(x) = \frac{1}{x(x + 1)}\).
Décomposée
Soit \(f:x\donne \frac{1}{x^2+1}\) et \(g:x\donne \eu{-x^2}\). Déterminer quatre ...
Développements en série entière au voisinage de $0$
On considère les fonctions \[f(x)=\frac{1}{3+\frac{x}{2}} \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.\]
exo7 107
Soit \(f\) une application de \({\Rr}\) dans ...
exo7 120
Soient \(f,g\) deux fonctions de \(\Rr\) dans ...
exo7 1213
À quelle condition sur \(f\) et \(g\) a-t-on ...
exo7 1218
Trouver un équivalent simple en \(+ \infty\) de ...
exo7 1221
Montrer que pour tout \(x \in { \Rr}_+ , \sin(x) \leq x .\)
exo7 1228
Soit \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) à valeurs dans ...
exo7 1230
Soit \(f\) une fonction d’un intervalle \(I\) à valeurs dans ...
exo7 1238
Soit \(f : { \Rr} \rightarrow { \Rr}\) la fonction définie par \(f(x)=0\) si ...
exo7 1240
Faire un développement limité ou asymptotique en \(a\) à l’ordre \(n\) de :
exo7 1241
Développements limités en \(0\) de :
exo7 1245
Donner un développements limité en \(0\) à l’ordre \(10\) de :
exo7 1250
Montrer que pour tout ...
exo7 1251
Établir pour tout \(x \in { \Rr}_+^*\) l’inégalité : ...
exo7 1258
Soit \(x\in \Rr^{+},\) on définit \((u_{n}(x))_{n}\) et ...
exo7 1260
Déterminer : \[\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan x-\sh 2x}{(1-\cos 3x)\arctan x}.\]
exo7 1262
Soit \(g\) la fonction \(x\mapsto \dfrac{\arctan x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}\) ...
exo7 1264
Montrer que, pour tout \(x\) réel vérifiant \(\vert x \vert \leq 1\) : ...
exo7 1266
Soit \(g\) la fonction définie par : ...
exo7 1273
Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction de classe \(C ^1 .\) Montrer qu ...
exo7 1280
Donner la nature des intégrales suivantes : ...
exo7 1281
Montrer que \(\forall x>-1 \, \, \ln (1 + x)\leq x.\)
exo7 1283
Soit \(f\) une application \(C^{2}\) de ...
exo7 1291
Convergence et calcul de : ...
exo7 1297
Nature et calcul de : ...
exo7 1298
Convergence et calcul de : ...
exo7 134
Écrire l’ensemble de définition de chacune des fonctions numériques suivantes : \(x\mapsto\sqrt x\), ...
exo7 1346
Traduire en termes d’homomorphisme de groupes les propriétés traditionnelles suivantes :
exo7 1491
Déterminer \(\inf\limits_{ (a, b)\in \Rr^{2}} \int_{0}^{1}{ (e^{x}- (ax + b))^{2}dx}\).
exo7 1492
Calculer : \[\inf\limits_{(a,b)\in {\Rr}^{2}}\int_{0}^{1}x^{2}\left| \ln x-ax-b\right|^{2}dx.\]
exo7 1704
Résoudre les systèmes différentiels suivants ...
exo7 1705
Déterminer toutes les suites \((u_{n})\) telles que : ...
exo7 1729
Soient \(n \in \Nn^*\) et \(x_1, \ldots, x_n \in ]0, + \infty[\).
exo7 1843
\(S=\{ z\in \Cc ; \vert z\vert = 1\} .\) Soit \(f\) l’application de ...