Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
c) Dérivées partielles
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivées partielles. | |
Fonctions de classe $\mathscr{C}^1$ sur un pavé ouvert du plan. | Dans un énoncé on ne demandera jamais de montrer qu’une fonction est de classe $\mathscr{C}^1$. Utilisation des dérivées partielles premières pour évaluer une petite variation de la valeur d’une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ découlant de petites variations sur les variables. |
Définition du gradient ; calcul dans un repère orthonormal en coordonnées cartésiennes. Dérivation d’une expression de la forme $t \mapsto f(x(t), y(t))$, la fonction $f$ étant de classe $\mathscr{C}^1$ et les fonctions $x$, $y$ étant dérivables. | On pourra donner sans démonstration l’interprétation graphique du gradient. |
Définition de point critique. Lien avec l’existence éventuelle d’extremum dans le cas d’une fonction définie sur un pavé ouvert et admettant des dérivées partielles. | Toute condition suffisante d’extrémalité est hors programme. Application à l’ajustement affine par les moindres carrés. |
exo7 6874
On considère le changement de variables en coordonnées sphériques suivant : ...
exo7 6876
On considère le champ vectoriel \(\vec{V}(x,y)=(1+2xy,x^3-3)\). Ce champ est-il un champ de gradient ?
exo7 6877
Quel est le champ vectoriel qui dérive du potentiel \[U(x,y,z)=1+x+xy+xyz ?\]
exo7 6880
On donne le champ vectoriel \[\vec{V}(x,y,z)=(y^2\cos x, 2y\sin x+e^{2z},2y e^{2z}).\]
Extrema d’une fonction sur un domaine fermé
On considère la fonction \(f(x,y)=x^2+2y\) définie sur l’ensemble ...
Extremum d'un polynôme
Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : ...
Fonction de $n$ variables et laplacien nul
Soit \(g \colon ]0;+\infty[ \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). So ...
Fonction de deux variables
On considère la fonction \(f(x,y)=x^3-3x^2y+y^3\).
Fonction de deux variables non continue
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R^2\) par ...
Fonction deux variables
Déterminer les extrémums locaux des applications suivantes définies sur \(\R^2\):
Fonction Logarithmique
On considère la fonction définie par \(f(x,y)=\ln(4-x^2-y^2)\).
Fonctions homogènes
Soit \(\alpha \in \R\). Soit \(f \colon \R^* \times \R^* \to \R\) de classe ...
Fonctions périodiques
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction différentiable telle que pour tout ...
Gradient et lignes de niveau
On considère une colline modélisée par la fonction altitude \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par : ...
Limite et continuité en un point
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) telle que ...
Lire une vallée quadratique
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Minimum global d'une forme quadratique affine
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Méthode des moindres carrés
On considère des points \(M_{1}, \ldots, M_{n}\) de \(\mathbb{R}^{2}\), et on not ...
Optimisation avec contrainte
On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par ...
Optimisation d'une fonction d'efficacité sur un disque fermé
Dans une zone militaire, l’efficacité de détection d’un radar est modélisée par la fonction : ...
Optimisation simple
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Optimiser sur un triangle
On considère le triangle \[T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\geq0,\ y\geq0,\ x+y\leq2\}\] et la fonction ...
Points critiques d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=x^2y^3+(y-1)^2$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums de $f(x,y)=xye^{-(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Points critiques et extremums locaux
On considère la fonction \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par ...
Problème concret
On désire fabriquer par une imprimante 3D une boite ayant la forme d’un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette ...
Problème de continuité
Soit \(f: \R^2 \to \R\) définie par : ...
Prolongement continu et dérivées partielles en l'origine
On définit \(f : \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \to \mathbb{R}\) par ...
Quand une ReLU bloque l'apprentissage
On considère un réseau à une entrée, un neurone caché et une sortie linéaire : ...
Recherche d'extremum d'une fonction de deux variables
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application ...
Règle des chaînes
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction différentiable.
Régression linéaire
On dispose d’observations \((x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)\). On cherche les "meilleurs" coefficients ...
Rétropropagation et problème du neurone mort
On étudie, sur un exemple simple, le calcul de la propagation avant et de la rétropropagation du gradient dans un réseau de neurones de régression. ...
Rétropropagation à travers le temps (BPTT)
On considère un RNN simple scalaire (\(h_t \in \mathbb{R}\)) défini par : ...
Rétropropagation à une variable
Vous allez travailler avec un réseau de neurones à une couche cachée, conçu pour effectuer une tâche de prédiction simple.
Descripti ...
Solution d'une EDP
Soient deux fonctions \(g,h\) d’une variable réelle, de classe \(\mathcal{C}^2\) ...
Un pas de descente trop grand
On considère la fonction \[f(x,y)=(x-2)^2+4(y+1)^2\] et la descente de gradient à pas constant ...
Une étape de descente de gradient sur un modèle linéaire
On cherche à ajuster un modèle linéaire de la forme \[\hat y = wx+b,\] où \(x\) ...
Vrai ou Faux
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(\mathcal{D}\) de ...
Étude d'une fonction
Soit \(f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) une fonction définie par ...
Étude d'une fonction de deux variables
Soit la fonction \(f: \R^2 \to \R\), ...
Étude d'une fonction de deux variables
Soit la fonction \(f \colon \R^2 \to \R\) définie par : ...
Étude d'une rétropropagation
On considère le réseau de neurones à deux couches suivant où la fonction d’activation de la première couche est ...
Étude de la classe $\mathcal{C}^1$ de $f(x,y)=e^{-1/(x^2+y^2)}$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Étude de la classe $\mathcal{C}^1$ de $f(x,y)=x^2y^2\ln(x^2+y^2)$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Étude de la différentiabilité de $f(x,y)=\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2}$
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par ...
Étude des extremums d'une fonction de deux variables
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x,y)=x^2+y\) sur l’ensemble : ...
Étude des points critiques d'une fonction de deux variables
On pose \[f(x,y)= x\,(x+1)^2 - y^2.\]