Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
e) Projection orthogonale
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Projection orthogonale d’un point $M$ sur une droite $\mathscr{D}$ donnée par un point $A$ et un vecteur $\overrightarrow{u}$ : c’est l’unique point $H$ de la droite tel que les vecteurs $\overrightarrow{HM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux. | ⇌ On pourra aborder la définition de projection orthogonale d’un vecteur sur une droite en lien avec les applications en physique. |
Lien avec la distance entre le point $M$ et la droite $\mathscr{D}$. | Aucune formule générale donnant la distance entre un point et une droite n’est exigible. |
Projection orthogonale d’un point $M$ sur un plan affine $\mathscr{P}$ donné par un repère $(A, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ : c’est l’unique point $H$ du plan tel que $\overrightarrow{HM}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$. | |
Lien avec la distance entre le point $M$ et le plan $\mathscr{P}$. | Aucune formule générale donnant la distance entre un point et un plan n’est exigible. |
exo7 1477
Déterminer la matrice dans la base canonique de \(\R^{3}\) de la projection orthogonale sur le plan d’équation ...
exo7 1486
Soient \(E\) un espace euclidien, \(u\) un vecteur non nul et ...
exo7 2006
Soit \(O, A, B\) un triangle rectangle en \(O\). A toute droite ...
exo7 2026
Déterminer la distance du point \(M = (1, 2, 3)\) aux droites ...
exo7 2029
Soit la droite d’équations ...
exo7 2035
Soit \(P\) un plan muni d’un repère ...
exo7 2039
Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d’équation \(2x+2y-z=1\).
exo7 2052
Soit \(C\) un cercle du plan de centre \((1, 0)\) et de rayon ...
exo7 2066
Soit \(\mathcal{P}\) une parabole de foyer \(F\), de directrice ...
exo7 2215
Soient
\(H=\)span\(\{v_1, \cdots , v_r\}\) le sous–espace vectori ...
exo7 2707
Hélice -
Étudier la courbe paramétrée de l’espace définie
par
...
exo7 3743
Quels sont-ils ?
exo7 4899
Soit \(ABC\) un triangle. On note : ...
exo7 4936
Soit \({\cal E}\) un ellipsoïde d’équation ...
exo7 4937
Soient \(D,D'\) deux droites non coplanaires et \({\cal S}\) l’ensemble des p ...
exo7 4949
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(a\).
Quels sont les points ...
exo7 4953
Soient \(D,D'\) deux droites distinctes sécantes en \(O\).
On note ...
exo7 4957
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé d’origine \(O\). ...
exo7 4960
Trouver les coordonnées des projetés du point \(C(3,4,-2)\) sur les droites définies par les équations :
...
exo7 4961
Dans un rond on donne les plans ...
exo7 4964
Dans un rond on donne les droites \(D : \begin{cases}x +2y - z = 1 \cr 2x - y +2z = 2 \cr\end{cases}\) ...
exo7 4966
Soit \(ABCD\) un tétraèdre régulier de côté \(a\). Chercher la distance entre deu ...
exo7 4967
Dans un rond on donne la droite \(D : \begin{cases} x +2y - z = -3 \cr x - y +2z = -4\cr\end{cases}\) e ...
exo7 4968
Dans un rond on donne le plan \(P : x + 2y + 3z = 4\). Déterminer l’expression analytique de la projectio ...
exo7 4969
Dans un rond on donne les points \(A:(1, 0, -1)\), \(B:(-1, 1, 1)\), ...
exo7 4981
Soient \(D_1\), \(D_2\), \(D_3\) trois droites d ...
exo7 5018
Chercher l’enveloppe d’un diamètre \(\Delta\) d’un cercle \(\cal C\) roulant sans ...
exo7 5197
Déterminer le projeté orthogonal du point \(M(x_0,y_0)\) sur la droite \((D)\) d’ ...
exo7 5488
Matrice de la projection orthogonale sur la droite d’équations \(3x=6y=2z\) dans la base canonique orthonormée de ...
exo7 5509
Dans \(\Rr^3\), soient \((D)\) ...
exo7 5514
Soit \(M(x,y,z)\) un point de \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé. Détermin ...
exo7 5520
Soient \((D)\) la droite dont un système d’équations cartésiennes est ...
exo7 5522
Déterminer la distance de l’origine \(O\) à la droite \((D)\) dont un système d’é ...
exo7 5529
Soit \(T\) l’intersection de \((Ox)\) et de la tangente en ...
exo7 5546
Droite de Simson. Soit \((A,B,C)\) un triangle et ...
exo7 6884
Déterminer le projeté orthogonal du point \(M_0(x_0,y_0)\) sur la droite \((D)\) ...
exo7 7053
On donne deux points \(O\) et \(I\), avec ...
exo7 7055
On donne une droite \(\mathcal D\) et un point \(O\) hors de la droite. Tracer le ...
exo7 7062
On donne un cercle \(\mathcal C\), un diamètre \([AB]\) et un troisième point ...
exo7 7077
Soit \(\mathcal D\) une droite et \(\sigma\) la réflexion orthogonale suivant cet ...
exo7 7081
Soit \(\mathcal D\) une droite, \(A\) et \(B\) d ...
exo7 7082
Soit \(ABC\) un triangle, \(P\) le pied de la hauteur issue de ...
exo7 7088
Soit \(\mathcal D\) une droite, \(A\) et \(B\) d ...
exo7 7090
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, et \(M\) un point sur la diagonale ...
exo7 7093
Soit \(ABCD\) un rectangle et \(M\) un point du plan.
On note ...
exo7 7101
Soient \(C\) et \(C'\) deux cercles sécants de centres ...
exo7 7104
On considère un carré \(ABCD\) et on place quatre points \(E\), ...
exo7 7113
Soit \(ABC\) un triangle et \(D\) le projeté orthogonal de ...
exo7 7140
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe inscriptible dont les diagonales sont perpendiculaires, et soit ...
exo7 7144
Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(P\) un point du plan. On considère une droite ...