Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
c) Application aux équations du second degré.
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Résolution des équations du second degré à coefficients réels, somme et produit des solutions. | |
Résolution de l’équation $x^2 = a$ avec $a \in \mathbb{C}$. | En dehors de cette équation, qui doit pouvoir être traitée algébriquement ou en la retranscrivant trigonométriquement, la résolution des équations du second degré plus générales à coefficients complexes non réels n’est pas un attendu du programme. La recherche des racines $n$-ièmes de l’unité ou d’un nombre complexe quelconque dans le cas $n \geq 3$ n’est pas non plus un attendu du programme. |
Des équations à prendre au second degré
Résoudre les équations suivantes :
exo7 101
On définit une fonction \(f\) de \(\mathbb C-\{i\}\) dans ...
exo7 102
Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb C\) dans ...
exo7 176
On définit une suite \((F_n)\) de la façon suivante : ...
exo7 27
Calculer les racines carrées de \(1,\ i,\ 3+4i,\ 8-6i,\) et \(7+24i\).
exo7 28
Trouver les racines carrées de \(3-4i\) et de \(24-10i\).
exo7 29
Calculer les racines carrées de \(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\). En déduire les valeurs de ...
exo7 2945
Soit \(z \in \C\) et \(p,q\) ses racines carrées. A quelle condition ...
exo7 2946
Résoudre dans \(\C\) : \(z^4 - (5-14i)z^2 -2(5i+12) = 0\).
exo7 2948
Comment faut-il choisir \(m \in \C\) pour que l’équation : ...
exo7 2949
Soient \(u,v \in \C\). Vérifier que ...
exo7 2950
Soient \(u,v \in \C\). Montrer que \(|u+v|^2 + |u-v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2\).
exo7 30
Montrer que les solutions de \(az^2+bz+c=0\) avec \(a\), ...
exo7 32
Trouver les racines complexes de l’équation suivante : \[x^4-30x^2+289=0.\]
exo7 3221
Trouver les racines de \(P(X) =X^4-3X^3+6X^2-15X+5\) sachant que deux racines, ...
exo7 33
Pour \(z \in \Cc \setminus \{2i\}\), on pose \[f(z)=\frac{2z-i}{z-2i}.\]
exo7 35
Calculer les racines carrées de \(1+i\), \(7+24i\), ...
exo7 36
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :
exo7 37
On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E)\) suivante: ...
exo7 38
Pour \(\alpha\in\Rr\), résoudre dans \(\Cc\) l’équation ...
exo7 3898
Soient \(a,b\in \R\). Étudier l’existence de solutions pour le système : ...
exo7 399
Montrer que le polynôme \(nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}+(n+2)X-n\) admet une racine multiple. Application : déterminer les ...
exo7 40
Pour tout nombre complexe \(Z\), on pose \(P(Z)=Z^4-1\).
exo7 4409
Résoudre dans \(\C\) :
exo7 50
Calculer les racines \(n\)-ièmes de \(-i\) et de ...
exo7 5075
On veut calculer \(\cos\frac{2\pi}{5}\) et \(\sin\frac{2\pi}{5}\). Pour cela, on ...
exo7 5119
Calculer de deux façons les racines carrées de \(1+i\) et en déduire les valeurs exactes de ...
exo7 5120
Résoudre dans \(\Cc\) les équations suivantes :
exo7 5121
On pose \(z=e^{2i\pi/5}\) puis \(a=z+z^4\) et ...
exo7 5125
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(z^4-(5-14i)z^2-2(5i+12)=0\).
exo7 5344
Résoudre dans \(\Cc\) les équations suivantes :
exo7 5352
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(z^4-21z+8=0\) sachant qu’il existe deux des so ...
exo7 5479
Résoudre sur \(\Rr\) les équations différentielles :
...
exo7 56
Soient \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) trois nombres c ...
exo7 58
Déterminer les racines quatrièmes de \(-7-24i\).
exo7 64
Soit \(C\) la courbe d’équation \(x^2-xy+y^2 = 0\) dans le plan ...
exo7 6977
Soit \(a\) et \(b\) deux réels positifs tels que ...
exo7 7148
Soit \(a\in \C^*\), et soit \(f\) la similitude directe du plan représentée par ...
exo7 7210
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(4z^2+8\lvert z\rvert -3=0\).
exo7 7213
Soit \(a\in\C\). Résoudre sur \(\C\) l’équation ...
exo7 7521
Déterminer les racines carrées et les racines cubiques de \(i\).
exo7 756
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation d’inconnue \(x\) : ...
exo7 7585
Résoudre dans \(\Cc\), l’équation \(z^6+2z^3-3=0\).
exo7 77
Soit \((A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4})\) un pentagone régulier. On note \(O\) son ...
exo7 866
On considère l’équation : \[y^{\prime\prime} + 2y^\prime + 4y = xe^x \qquad (E)\]
Second degré -- sans les racines
On note \((E)\) l’équation \(2x^2+11x-4=0\).
Toujours se méfier des inconnues
Soit \((E) : mx^2+x(2m-1)-2=0\) où \(x\) et ...
Équations
Résoudre les équations suivantes, d’inconnue \(x\).