Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 2 – Nombres réels
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L’objectif de ce chapitre est de consolider et de compléter les acquis des classes antérieures afin que ces outils soient familiers aux étudiants.
Les ensembles $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ sont supposés connus.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Intervalles. | On se limite à une simple description des différents types d’intervalles. |
Valeur absolue. | Interprétation de la valeur absolue en termes de distance. |
Partie entière. | On adopte la notation internationale $\lfloor \cdot \rfloor$ pour la partie entière afin de ne pas la confondre avec l’espérance. |
Exposants, racine carrée, racine cubique. | On se limite, à ce stade, aux puissances du type $x^n$, $x \in \mathbb{R}^*$, $n \in \mathbb{Z}$. On attend une maitrise des formules $(xy)^n = x^n y^n$, $x^{n+m} = x^n x^m$, $(x^n)^m = x^{nm}$, $\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert$, $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$. La notation $a^b$ avec $a \in \mathbb{R}_+^*$ et $b \in \mathbb{R}$ sera introduite dans le chapitre Analyse 2. |
Identités remarquables. | Les attendus se limitent aux formules suivantes : $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ |
Manipulation des inégalités. | Il s’agit d’une simple reprise des règles de calcul algébrique sur les inégalités. |
Résolutions d’équations et d’inéquations simples. | Il s’agit d’une reprise des types d’équations et inéquations abordées dans les classes antérieures. |
Majorant, minorant, plus grand, plus petit élément d’une partie non vide de $\mathbb{R}$. Borne supérieure, borne inférieure. | On admet l’existence de la borne supérieure d’une partie majorée non vide. La recherche de bornes supérieures ou inférieures à partir de la définition sera étudiée sur quelques exemples simples dans le seul but d’illustrer la notion. |
Bornes d'ensembles de réels
Pour chacune des parties de \(\R\) suivantes, déterminer, s’ils existent, le minimum, maximum, borne inférieure et ...
Calcul de taille de sortie
Pour chacune des configurations suivantes, on rappelle la formule : ...
Caractérisation des intervalles
Soit \(I\) une partie non vide de \(\R\) vérifiant la propriété suivante : ...
Comparer deux capteurs avec des ReLU
Deux capteurs fournissent des mesures réelles \(x\) et \(y\). On veut calculer le ...
Convolution 2D à la main — mode valid
On considère l’image \(I\) et le noyau \(K\) suivants : ...
Des domaines de définitions
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes : ...
Des inégalités
Soient \(x\) et \(y\) deux réels.
Des inégalités en tout genre
Résoudre les inégalités suivantes :
Des équations à prendre au second degré
Résoudre les équations suivantes :
Effet du stride sur la taille et la résolution spatiale
On dispose d’une image \(6 \times 6\) et d’un noyau moyenneur \(3 \times 3\) (tou ...
exo7 1201
Une suite \((u_n)_{n\in \Nn }\) est dite de Cauchy lorsque, pour tout ...
exo7 1251
Établir pour tout \(x \in { \Rr}_+^*\) l’inégalité : ...
exo7 1264
Montrer que, pour tout \(x\) réel vérifiant \(\vert x \vert \leq 1\) : ...
exo7 1297
Nature et calcul de : ...
exo7 1327
Soit \(G\) un sous-groupe de \((\Rr,+)\) avec ...
exo7 136
Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement vide ou réduit à un point ...
exo7 137
Montrez que chacun des ensembles suivants est un intervalle que vous calculerez. ...
exo7 1378
Soit \(\sigma\) un automorphisme de \(\Rr\).
exo7 1493
Résoudre l’équation \((1-x)^2 + (x-y)^2 + (y-z)^2 + z^2 = \frac{1}{4}\) pour ...
exo7 1736
Montrer que : ...
exo7 1749
Simplifier l’écriture des ensembles suivants : ...
exo7 1751
Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides et majorées de ...
exo7 1752
Soit \(\epsilon\in\R^+\) tel que \(\forall x\in\R_+^*,\;x\geq\epsilon\). Montrer ...
exo7 1753
Soit \(A\) une partie non vide et bornée de \(\R\). Montrer que : ...
exo7 1755
On se propose de montrer que tout ouvert de \(\R\) est une réunion d’intervalles ouverts disjoints. On considère d ...
exo7 1777
Dans l’espace vectoriel normé \(\R\), chacune des parties suivantes est-elle ouverte ? fermée ?
...
exo7 1843
\(S=\{ z\in \Cc ; \vert z\vert = 1\} .\) Soit \(f\) l’application de ...
exo7 1864
Montrer que : ...
exo7 1866
Soient \((a_i)_{1\leq i\leq n}\) et \((b_i)_{1\leq i\leq n}\) deux familles de ...
exo7 1887
Quelles sont toutes les normes sur le \(\R\)-espace vectoriel \(\R\) ?
On ...
exo7 2104
Un jardinier doit planter \(10\) arbres en \(5\) rangées de ...
exo7 2658
Le but de cet exercice est de montrer que \[\forall n\geq3 \quad \pi(2n+1)\geq \ln2\times{2n+1 \over \ln(2n+1)}\] ...
exo7 3041
Soient \(A,B \subset \R\) vérifiant : ...
exo7 3048
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. On note \(A = \{ x \in {[0,1]}\) tq ...
exo7 3061
Soit \(f : \R \to \R\) un morphisme de corps.
exo7 3064
Soit \(H\) un sous-groupe additif de \(\R\), ...
exo7 3065
Soient \(a\in\Z\) et \(b\in\N^*\). Montrer que : ...
exo7 3066
Soit \(a \in \Q^+\) tel que \(\sqrt a \notin \Q\).
Montrer qu’il existe ...
exo7 3067
Soient \(a,b \in \Q^+\) tels que \(\sqrt b \notin \Q^+\). Montrer qu’il existe ...
exo7 3073
On note \(x_n = (\sqrt3 + 1)^{2n+1}\), \(y_n = (\sqrt3 - 1)^{2n+1}\), et ...
exo7 3148
Soient \(\frac ab < \frac cd\) deux rationnels avec \(a,c \in \Z\), et ...
exo7 3150
On cherche les couples \((x,y) \in \bigl(\Q^{+*}\bigr)^2\) tels que \(x < y\) ...
exo7 3898
Soient \(a,b\in \R\). Étudier l’existence de solutions pour le système : ...
exo7 3982
Soient \(x_1, x_2, \dots, x_n > 0\). Montrer que ...
exo7 4302
Montrer que pour \(0 \le x \le \sqrt n\) on a : ...
exo7 4431
Convergence et somme de la série de terme général ...
exo7 4489
Soit \((r_n)_{n\ge 1}\) une énumération des rationnels. On note ...
exo7 451
Démontrer que si \(r \in \Q\) et \(x \notin \Q\) alors ...
exo7 452
Les nombres suivants sont-ils des rationnels ? des décimaux ?
\(a=1/3\),
...
exo7 453
Dans le plan \(xOy\), on porte sur \(Ox\) une suite de points ...