Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
d) Théorème du rang
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Forme géométrique du théorème du rang : si $u \in \mathscr{L}(E, F)$ et si $S$ est un supplémentaire de $\operatorname{Ker} u$ dans $E$, alors $u$ induit un isomorphisme de $S$ sur $\operatorname{Im} u$. Théorème du rang : si $E$ est de dimension finie $n$ et $u \in \mathscr{L}(E, F)$, alors $n = \dim \operatorname{Ker} u + \operatorname{rg}(u)$. |
exo7 5170
Vérifier qu’il existe une unique application linéaire de \(\Rr^3\) dans \(\Rr^2\) ...
exo7 5181
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et soit ...
exo7 5185
Soit \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) u ...
exo7 5186
Soit \(E=\Rr_n[X]\), le \(\Rr\)-espace vectoriel des polynômes à coefficients rée ...
exo7 5188
Soit ...
exo7 5191
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5257
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5260
Soit ...
exo7 5261
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\Rr^3\), nilpotent d’indice ...
exo7 5575
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimen ...
exo7 5580
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de dimension finie et soient ...
exo7 5581
Soient \(E\), \(F\) et \(G\), trois ...
exo7 5582
Soient \(E\) un espace de dimension finie et \(F\) et ...
exo7 5598
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 5601
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\Kk\)-espaces vecto ...
exo7 5602
Soit \(E=\Kk_n[X]\). \(u\) est l’endomorphisme de ...
exo7 932
Soit \(f\) une application linéaire de \(\Rr^n\) dans ...
exo7 934
Soit \(E\) un espace vectoriel et soient \(E_1\) et ...
exo7 935
Soit \(E\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\). P ...
exo7 937
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) et ...
exo7 938
Soit \(E\), \(F\), \(G\) trois espaces vectoriel ...
exo7 939
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(f\) une application linéaire ...
exo7 940
Soit \(E\) un espace vectoriel, et \(u\) une application linéaire de ...
exo7 943
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 944
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(F\) un sous-espace vectoriel de ...
exo7 946
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(\varphi\) une application ...
exo7 951
Donner des exemples d’applications linéaires de \(\Rr^{2}\) dans \(\Rr^{2}\) véri ...
exo7 955
\(E\) étant un espace vectoriel de dimension \(n\) sur ...
exo7 956
Pour les applications linéaires suivantes, déterminer \(\ker f_i\) et \(\Im f_i\) ...
exo7 962
Montrer que si \(p<q\) il n’existe pas d’application linéaire surjective de ...
exo7 969
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). Un hyperplan ...
exo7 976
Soit \(E={\Rr}_{n}[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré \(\leq n\), et ...