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Soient \(m\ge 1\) et \(n\ge 2\) des entiers ; montrer que :

Soit \(a\) un entier relatif quelconque, démontrer que le nombre \(a(a^2-1)\) et, ...

Démontrer que le nombre \(7^n+1\) est divisible par \(8\) si ...

Quel est le plus petit entier naturel qui, divisé par \(8,15,18\) et \(24\), donn ...

Montrer que si \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels tels que ...

Montrer que \(\forall n\in \Nn\) : ...

Trouver tous les entiers relatifs \(n\) tels que \(n^2+n+7\) soit divisible par ...

On considère le nombre \(m = 2^np\), dans lequel \(n\) désigne un entier naturel ...

Le diviseur d’une division est égal à \(45\) ; le reste est le carré du quotient. Calculer le dividende entier nat ...

Trouver le plus petit entier naturel \(n\) telle que le développement décimal de ...

Les nombres \(a\), \(b\), \(c\), ...

On définit les trois ensembles suivants : ...

Soit \(n\) un entier relatif. Montrer que soit \(8\) divise ...

Le but de cet exercice est de montrer que \[\forall n\geq3 \quad \pi(2n+1)\geq \ln2\times{2n+1 \over \ln(2n+1)}\] ...

Étant donnés deux nombres relatifs \(n\) et \(p\) montrer que soit ...

Montrer que si \(n\) est un entier naturel somme de deux carrés d’entiers alors le reste de la division euclidienn ...

Soit \(n\) un entier naturel dont le reste de la division euclidienne par 5 vaut ...

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Montrer que parmi les trois entiers \(n.(n+1)\), ...

Pour tout couple de nombres réels \((x,y)\) montrer, par récurrence, que pour tout ...

Calculer \(2000^{2000}\) modulo \(7\) et ...

Soit \(a,b \in {\mathbb{Z}}^2\) dont les restes modulo \(11\) sont ...

Montrer que \(7\) divise \(2222^{5555}+5555^{2222}\);

Montrer que pour tout \(n> 0\) :

Déterminer la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de \(3^{500}\).

Trouver les entiers positifs \(n\) tels que \(n-1\) divise ...

Montrer que pour chaque \(n \in \mathbb{N}\), \(4\) ne divise pas ...

Montrer que pour chaque entier positif \(n\), \(49\) divise ...

Trouver tous les entiers positifs \(a\) tels que \(a^{10}+1\) est divisible par ...

Quel est le chiffre des unités de \(19971997^{10}\) ?

Montrer que :

Déterminer les entiers \(n \in \Nn\) tels que :

Soit \(k \in \Zz\). Déterminer les entiers \(n \in \Nn^*\) tels que ...

Montrer que \(\forall (a, b) \in \Nn \times \Nn^*\) il existe un unique ...

Montrer que le reste de la division euclidienne par \(8\) du carré de tout nombre impair est ...

Montrer qu’il est équivalent dans \(\mathbb{Z}\) de dire \(m\) divise  ...

Montrer que l’intersection de deux sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de ...

Déterminer \(2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}\). Est-ce un sous-groupe de ...

Calculer le pgcd des nombres suivants :

Soit \(p \in \N^*\), et \(n = 2^p\).

Calculer le ppcm des nombres : 108 et 144 ; 128 et 230 ; 6, 16 et 50.

Déterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De même avec pgcd 18 et produit 6480.

Si \(a,b,c,d\) sont des entiers supérieurs à \(1\), montrer que l’on a : ...

Soient \(a,b,c\) des entiers relatifs tels que \((a,b)\not =(0,0)\), montrer que ...

Soient \(a\) et \(b\) deux entiers tels que ...

Calculer par l’algorithme d’Euclide : \(\pgcd(18480,9828)\). En déduire une écriture de ...

Déterminer le pgcd de \(99\,099\) et \(43\,928\). Déterminer le pgcd de ...

Soit \(E\) un ensemble et \(G = {\cal P}(E)\).

Déterminer l’ensemble de tous les couples \((m,n)\) tels que \[955m+183n=1.\] ...

Soit \(G\) un groupe cyclique engendré par \(a\) d’ordre ...

Soient \(a,b\) deux éléments d’un groupe multiplicatif ...