Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires ;
- présenter quelques notions de géométrie affine, afin d’interpréter géométriquement certaines situations.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général ; on en tirera parti par de nombreuses figures.
Le corps $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
- A - Espaces vectoriels 295
- B - Espaces de dimension finie 146
- C - Applications linéaires 533
- D - Sous-espaces affines d’un espace vectoriel 222
exo7 6393
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) et ...
exo7 6395
Soit \(f\) une application qui préserve les rapports de longueur : ...
exo7 6396
Soit \(A B C\) un triangle isocèle en \(A\) non equilatéral, le but de cet exerci ...
exo7 6397
Soient \(f\), \(g\) deux isométries du plan affine euclidien ...
exo7 6402
Montrer que \(3\) points \(x, y\) et \(z\) sont ...
exo7 6411
Rappelons qu’une application \(g\in SO(3)\) est dite retournement si ...
exo7 6415
On considère l’application \(\xi_s(q)=-sqs^{-1}\ (s\in(\R^3)^*,\ q\in\R^3).\) Montrer que ...
exo7 6775
(D’abord un cas particulier) Dans \(\Rr^3\) on considère les objets suivants : le demi-espace ...
exo7 6868
Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur \(\Rr\)) :
exo7 6869
Décrire les sous-espaces vectoriels de \(\Rr\) ; puis de \(\Rr^2\) et ...
exo7 6870
Soient \(v_1=(2,1,4)\), \(v_2=(1,-1,2)\) et ...
exo7 6871
Par des considérations géométriques répondez aux questions suivantes :
exo7 7033
Soient \(a_1 ,...,a_n\) des points du plan complexe.
Déterminer à quelle(s) condition(s) il existe au moins ...
exo7 7048
On donne un cercle \(\mathcal C\) (sans son centre).
exo7 7050
Soit \(ADC\) un triangle équilatéral et \(B\) le symétrique de ...
exo7 7051
On donne un segment \([AB]\).
exo7 7058
Dans tout l’exercice, on fixe \(R>0\). Dénombrer et construire les cercles de rayon ...
exo7 7066
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral. Pour tout point \(M\) à l’intérieur du tria ...
exo7 7075
Soit \(ABC\) un triangle dont on note \(a\), ...
exo7 7076
On donne un cercle \(\mathcal C\) (de centre \(O\)), un point ...
exo7 7077
Soit \(\mathcal D\) une droite et \(\sigma\) la réflexion orthogonale suivant cet ...
exo7 7078
On donne deux points \(A\) et \(B\). Soit ...
exo7 7079
À quelle condition sur quatre points \(P_1, ... P_4\) existe-t-il une homothétie ...
exo7 7080
On donne un nombre impair de points du plan \(M_1\), ...\(M_n\). Existe-t-il un p ...
exo7 7084
On donne deux cercles. Déterminer le nombre de tangentes communes aux deux cercles et tracer ces tangentes.
exo7 7085
Soit \(ABC\) un triangle. Construire un carré dont un sommet appartient à ...
exo7 7087
Soient \([AB]\) et \([CD]\) deux segments parallèles de longueurs différentes. Mo ...
exo7 7088
Soit \(\mathcal D\) une droite, \(A\) et \(B\) d ...
exo7 7090
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, et \(M\) un point sur la diagonale ...
exo7 7091
On donne un cercle \(\mathcal C\) (de centre \(O\)), un point ...
exo7 7092
On donne trois cercles disjoints, de rayons distincts et à l’extérieur les uns des autres. Chacune des trois paires de cercles fournit deux tangent ...
exo7 7093
Soit \(ABCD\) un rectangle et \(M\) un point du plan.
On note ...
exo7 7094
Soient \(D\) et \(D'\) deux droites. Soient ...
exo7 7095
Soient \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles (non aplatis) sans sommet ...
exo7 7096
Soient \(f\) et \(g\) deux homothéties de même rapport et de centres distincts. D ...
exo7 7097
Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(D\) une droite. Construire une droite parallèl ...
exo7 7098
On donne deux droites parallèles et un point \(A\) entre les deux droites. Dénombrer et tracer les cercles passant ...
exo7 7099
On donne deux droites parallèles et un point \(A\) entre les deux droites. Dénombrer et tracer les cercles passant ...
exo7 7100
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 7101
Soient \(C\) et \(C'\) deux cercles sécants de centres ...
exo7 7103
Construire un octogone régulier inscrit dans un carré donné (c’est-à-dire un octogone dont quatre des huit cotés s’appuient sur les cotés du carré) ...
exo7 7104
On considère un carré \(ABCD\) et on place quatre points \(E\), ...
exo7 7109
Soit \(BOA\) un triangle indirect isocèle en \(O\), ...
exo7 7110
Soit \(ABCD\) un carré, \(E\) le symétrique de ...
exo7 7111
On considère trois droites parallèles \(D_1\), \(D_2\) et ...
exo7 7116
Soit un quadrilatère convexe \(ABCD\). Les points \(E\), ...
exo7 7117
Soient \(ABCD\) et \(AB'C'D'\) des carrés de même orientation et de c ...
exo7 7135
Soit \(\mathcal D\) une droite et \(A\) et \(B\) ...
exo7 7144
Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(P\) un point du plan. On considère une droite ...
exo7 7152
Soit \(ABCD\) un carré direct de côté \(1\), et soient ...